Matematické Fórum

OndraVesely · 19. 01. 2014 07:26

Zdravím,

potřeboval bych pomoc s timto příkladem - mám zde soustavu s tuhou tyčkou o hmotnosti m a o celkové délce l, kde jeden konec tyčky se nachází na svislé ose y a druhý konec se nachází na vodorovné ose x. Střed této tyčky je připojen k počátku souřadnicového systému pomocí pružinky o tuhosti k. Jak vypadaá lagrangián soustavy?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/12362_exp1.png

Lagrangián vypočítam s pomocí Lagrangeovy funkce $L=E_{k}-E_p$ . Byl bych moc vděčný kdybyste mi napsali jak mají vypadat ty energie $E_k$ (kinetická energie soustavy) a $E_p$ (potencialní energie soustavy). Vubec si nevím rady s tím co vše by se do těch energíí mělo zahrnout. Děkuju

zdenek1 · 19. 01. 2014 10:29

↑ OndraVesely:

Vubec si nevím rady s tím co vše by se do těch energíí mělo zahrnout.

potenciální energie pružiny
potenciální energie těžiště tyče
kinetická energie posuvného pohybu tyče
kinetická energie otáčivého pohybu tyče kolem těžiště

OndraVesely · 19. 01. 2014 11:27

↑ zdenek1:
Děkuju, přesně to jsem chtěl vědět, je toto v pořádku?

kinetická energie otáčivého pohybu tyče kolem těžiště $\frac{1}{2}J\omega ^2=\frac{1}{2}\frac{1}{12}ml^2\omega ^2$

kinetická energie posuvného pohybu tyče= $\frac{1}{2}mv^2$

potenciální energie pružiny $\frac{1}{2}k(x^2+y^2)$

potenciální energie těžiště tyče $mgy$

zdenek1 · 19. 01. 2014 11:46

↑ OndraVesely:
Ano, ale pro výpočet to bude chtít vyjádřit proměnné ( $x$ , $y$ , $v$ , $\omega$ ) pomocí jednoho parametru. Já osobně bych si vybral úhel OAB

OndraVesely

jj, díky moc

Je toto v pořádku? Nejsem si jistý tou úhlovou rychlostí $\omega$ .

$x=\frac{l}{2}cos \alpha$ , kde úhel $\sphericalangle OAB=\alpha$
$y=\frac{l}{2}sin \alpha$
$\dot{x}=\frac{\dot{l}}{2}cos \alpha-\frac{l}{2}\dot{\alpha }sin\alpha$
$\dot{y}=\frac{\dot{l}}{2}sin \alpha+\frac{l}{2}\dot{\alpha }cos\alpha$
$\dot{x}^2+\dot{y}^2= \left( \frac{\dot{l}}{2} \right)^2+ \left( \frac{l}{2} \right)^2 \dot{\alpha }^2$
$\omega =\dot{\varphi }$

zdenek1 · 19. 01. 2014 16:54

↑ OndraVesely:
ty derivace $\dot x$ , $\dot y$ nejsou dobře, $l$ je konstanta

a také $\omega =\dot{\alpha}$

OndraVesely · 19. 01. 2014 17:52

↑ zdenek1:No jo, to jsem ale popleta

Mužete mi ještě prosím zkontrolovat zdali je tento postup správný:
1. $\dot{x}=-\frac{l}{2}\dot{\alpha}sin\alpha$ $\dot{y}=\frac{l}{2}\dot{\alpha}cos\alpha$ $\dot{x}^2+\dot{y}^2=-\left(\frac{l}{2}\right)^2\dot{\alpha}^2$ $\omega =\dot{\alpha}$

2. Dosadim vše do rovnice $L=E_{k}-E_p$

3. Dosadím do Lagrangiánu $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} }\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}$ - kde za $q_i$ dosazuji postupně $x,y,\alpha$

zdenek1 · 19. 01. 2014 18:05

↑ OndraVesely:
$\dot{x}^2+\dot{y}^2=-\left(\frac{l}{2}\right)^2\dot{\alpha}^2$ proč "mínus"?

3. proměnné vyjadřuješ pomocí jednoho parametru právě proto, abys za $q_i$ už dosazoval jen ten parametr, tj. $q_i=\alpha$

OndraVesely · 19. 01. 2014 18:11

↑ zdenek1:lol, díky moc

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2014 07:26

Lagragián soustavy

#2 19. 01. 2014 10:29

Re: Lagragián soustavy

#3 19. 01. 2014 11:27

Re: Lagragián soustavy

#4 19. 01. 2014 11:46

Re: Lagragián soustavy

#5 19. 01. 2014 11:49 — Editoval OndraVesely (19. 01. 2014 15:54)

Re: Lagragián soustavy

#6 19. 01. 2014 16:54

Re: Lagragián soustavy

#7 19. 01. 2014 17:52

Re: Lagragián soustavy

#8 19. 01. 2014 18:05

Re: Lagragián soustavy

#9 19. 01. 2014 18:11

Re: Lagragián soustavy

Zápatí