Matematické Fórum

pan Hole · 19. 01. 2014 09:46

Ze všech trojúhelníků s daným obvodem $o = a +b +c$ se má vybrat ten s největším obsahem. Není žádné překvapení, že to bude rovnostranný trojúhelník s délkami stran $o/3$ . Ovšem má se na to přijít pomocí vázaného extrému užitím Heronova vzorce.

Takže bych to viděl tak, že půjde o hledání extrému funkce $S = \sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)}$ s vazbou $o = 2s = a+b+c$ . Obvyklý postup pomocí Lagrangeových multiplikátorů je tento:

$\Phi = \sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)} + \lambda (a+b+c-2s) =0$ ,

přičemž tato škaredá funkce se pak parciálně derivuje atd. Abych si to zjednodušil, napadlo mě tu vazbu zarvat přímo do funkce pro obsah. Výsledkem je jiná varianta Heronova vzorce

$S = \frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}$ ,

u které bych teď hledal extrém jako u klasické funkce více proměnných. Po zderivování z toho vyjdou zlomky se strašidelným jmenovatelem, který ale není důležitý (derivace se položí rovny nule, jmenovatel nulový být nemůže) a čitatelé jsou popořadě $a(-a^2+b^2+c^2)$ , $b(a^2-b^2+c^2)$ , $c(a^2+b^2-c^2)$ . Pokud je položím rovny nule, řešením soustavy dostávám jediné kořeny $a = b = c = 0$ , což moc nevypadá jako trojúhelník s maximálním obsahem... Celé mi to přijde zbytečně složité, nepřehlédl jsem někde nějakou jednoduchou cestu?

jelena · 19. 01. 2014 10:36

Zdravím,

dosazování jsem nekontrolovala, ale pokud je zadáno 2s, potom bych se snažila ve vyjádření $s$ zachovat (aby zůstala zadaná vazba) a dosazovat např. $a=2s-b-c$ do $S = \sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)}$ , $b=x$ , $c=y$ pro přehlednost, že funkce $f(x, y)$ . Nebude to více použitelné? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2014 09:46

Optimalizační úloha - vázané extrémy

#2 19. 01. 2014 10:36

Re: Optimalizační úloha - vázané extrémy

Zápatí