Matematické Fórum

Astrid · 19. 01. 2014 20:44

Zdravím. Nevím si rady s definičními obory určitých příkladů. Např. tento: //forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/59975_defo.JPG
Logaritmus bude x je větší než 0 a x je větší než 1.
Ta odmocnina má kořeny horní: 4 a 1 a ta spodní: 2 a -3
Podle výsledků je def. obor: D(f) = (- $\infty$ ; -3) sjednoceno [1;2) sjednoceno [4; $\infty$ )
Čehož se nemůžu dobrat. Je to tak? A když ano, jak se tedy dosazují za x čísla z intervalů pokud se jedná o takovýhle zlomek, resp. jak se u toho dělá společný průnik? Díky

Freedy · 19. 01. 2014 20:59

Logaritmus
$x^2-x>0$
$x(x-1)>0$
$x\in (-\infty ;0)\cup (1;\infty )$

Odmocnina:
$\frac{x^2-5x+4}{x^2+x-6}\ge 0$
$\frac{(x-4)(x-1)}{(x+3)(x-2)}\ge 0$

Tak a teď stačí zkoumat intervaly.
Čitatel i jmenovatel jsou kladný
Když x> 4 nebo x<1 tak je čitatel kladný, tudíž jmenovatel musí být kladný také aby to platilo. Ten je kladný když x>2 a x < -3. Takže průnik těchto intervalů:
$[(-\infty ;1> \cup \space <4;\infty )] \bigcap [(-\infty ;-3)\cup (2;\infty )]$
čili pochopitelně
$(-\infty ;-3) \cup <4;\infty )$

Čitatel i jmenovatel jsou záporný:
Čitatel bude záporný když bude x z intervalu (1;4)
Jmenovatel bude záporný když bude x z intervalu (-3;2)
Průnik:
$(1;4)\cap (-3;2)=(1;2)$

A sjednocení s výše uvedeným intervalem tedy dává:
$(-\infty ;-3)\cup (1;2)\cup <4;\infty )$

Teď už stačí udělat průnik s definičním oborem logaritmu. Ten je $(-\infty ;0)\cup (1;\infty )$
Je vidět že definiční obor funkce té odmocniny je podmnožinou tohoto definičního oboru, tudíž průnik bude:

$(-\infty ;-3)\cup (1;2)\cup <4;\infty )\bigcap_{}^{}(-\infty ;0)\cup (1;\infty )=(-\infty ;-3)\cup (1;2)\cup <4;\infty )$

janca361

↑ Astrid:
Argument logaritmu:
$\text{vyraz}> 0$
$x \in (-\infty;0)\cup (1;+\infty)$

Výraz pod odmocninou:
$\text{vyraz}\ge 0$
$x \in (-\infty;-3)\cup \langle 1;2)\cup \langle 4+\infty)$

Výsledkem je průnik:
$D_f=(-\infty;-3)\cup (1;2) \cup \langle 4;+\infty)$

Freedy · 19. 01. 2014 21:07

janca361 napsal(a):
Výraz pod odmocninou:
$\text{vyraz}\ge 0$
$x \in (-\infty;-3)\cup \langle-1;2)\cup \langle 4+\infty)$

Dosaď si tam 0 a uvidíš že tvůj interval asi nebude správně

janca361 · 19. 01. 2014 21:11

↑ Freedy:
Ano, mám tam chybu. U odmocniny má být 1 místo -1. Opraveno.

Astrid · 19. 01. 2014 21:24

Díky, ale právě mi není jasné to s tím logaritmem. Proč $(-\infty,0)$ ? Jak se na to přišlo?

A dále jen jestli to dobře chápu:

Čitatel i jmenovatel jsou kladný
Když x> 4 nebo x<1 tak je čitatel kladný

Jak toto platí? Když za x dosadím (x> 4), třeba 5, tedy (5-4)(5-1)=4 a naopak když tam dosadím třeba -2, tak to bude (-2-6)(-2-1) = 24. Takto to platí?
Díky

Freedy · 19. 01. 2014 21:35

Žádný podrobný důkaz, proč mínus krát minus je plus ti tu asi nenapíšu. Ale odjakživa to tak platí. Když si to vezmeš geometricky, tak (x^2 - x) stejně tak (x-4)(x-1) jsou paraboly s nulovýmy body které mají minimum. Čili je tam interval kde je to menší než nula a potom 2 intervaly kdy je to větší než nula

Astrid · 19. 01. 2014 21:38

Ne ne, já jen jestli v tom není nějaký fígl nebo je to takto jednoduché.
A ten logaritmus? Jeho definiční obor se vyřešil jak prosím?

Freedy · 19. 01. 2014 21:44

Logaritmus může být pouze z kladného reálného čísla. Tudíž x^2 -x musí být kladné

Simmona.maty

Ahoj, nevim si rady s urcenim definicniho oboru u prvního příkladu
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/13626_1453290_777247428956382_369701131_n.jpg

Pocitala jsem to tak, ze cos jsou všechna reálná čísla, tak jsem napsala x<=-2, x<=3 Df= R/2,3 a ve jmenovateli ze x > 0, ale nejsem si jista tim cosinusem a taky tou pátou odmocninou jestli se tam nemeni znamenka.Děkuji za radu

gadgetka

$(x)=\frac{\cos{\sqrt{6+x-x^2}}}{\sqrt[5]{x}} +\arctan{\frac{1}{x+2}}$
$x>0 \wedge 6+x-x^2\ge 0 \wedge x+2\ne 0$

jelena · 20. 01. 2014 14:35

Zdravím v tématu,

pro rozsáhlejší podílové a součinové nerovnice kolega Zdeněk zpracoval přehlednětabulkovou metodu.

↑ Simmona.maty:

Jsi nová na fóru, je třeba si zakládat nové téma pro svůj dotaz viz pravidla. Také je dobré využívat pro kontrolu online nástroje z úvodního tématu (na kontrolu def. oboru doporučuji MAW, jelikož WA má jinak definované liché odmocniny. V místních poměrech jsou definovány pro všechna R, pokud jste nezaváděli jinak). Děkuji a pro další komentář si založ, prosím, nové téma.

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2014 20:44

Definiční obor

#2 19. 01. 2014 20:59

Re: Definiční obor

#3 19. 01. 2014 21:00 — Editoval janca361 (19. 01. 2014 21:12)

Re: Definiční obor

#4 19. 01. 2014 21:07

Re: Definiční obor

janca361 napsal(a):

#5 19. 01. 2014 21:11

Re: Definiční obor

#6 19. 01. 2014 21:24

Re: Definiční obor

#7 19. 01. 2014 21:35

Re: Definiční obor

#8 19. 01. 2014 21:38

Re: Definiční obor

#9 19. 01. 2014 21:44

Re: Definiční obor

#10 20. 01. 2014 11:26 — Editoval Simmona.maty (20. 01. 2014 11:28)

Re: Definiční obor

#11 20. 01. 2014 11:31 — Editoval gadgetka (20. 01. 2014 11:33)

Re: Definiční obor

#12 20. 01. 2014 14:35

Re: Definiční obor

Zápatí