Matematické Fórum

Katka1994 · 15. 01. 2014 16:07

Dobrý den, prosím, pomohli byste mi s jednou úlohou?

Mám graf (obrázek) a mám určit na intervalu $\langle-3,2\rangle$ lokální a globální extrémy.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/98462_gRAF.jpg

Jak tedy prosím budou vypadat souřadnice požadujících extrémů?

Katka1994 · 18. 01. 2014 11:34

↑ vanok:

Děkuji za reakci, ale mohla bych se tedy ještě zeptat, které ty tři jsou lokální a které ty dva jsou globální? Pořád se v tom ztrácím. A co krajní body definičního oboru?

Peterslovak · 18. 01. 2014 11:42

Neco k pomoci http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=145166

Katka1994 · 18. 01. 2014 12:10

↑ Peterslovak:

V tom odkazu se ztrácím a nechápu to z něj, potřebovala bych to ukázat na mém příkladu, aby mi to bylo jasnější.

Prosím, neví tedy někdo, které tři jsou lokální, které dva globální a co s krajními body intervalů?

jelena · 18. 01. 2014 14:05

Zdravím,

pokud používáte stejnou definici, potom na zadaném intervalu pro nalezení globálního extrému potřebuješ najít hodnoty x, ve kterých funkce má největší (pro max) nebo nejmenší (pro min) hodnotu. Jelikož v definici se používá $\leq$ , může být více globálních extrémů se stejnou (ale z ostatních hodnot největší) hodnotou funkce (obdobně i pro min).

Na intervalu kandidátem na globální extrém jsou lokální extrémy + krajní body intervalu.

Lokální extrémy poznáme z obrázku tak, že pokud odstraníme hranice intervalu a funkci prodloužíme "stejnou cestou, jak šla ke hranici", tak lokální na obrázku zůstanou jako kopeček (lokální max) nebo prohlubeň (lokální min). Pokud již extrémy vyšetřujete pomocí derivací, tak tento postup vede na lokální extrémy. Pokud vyšetřujete jen z vlastností funkce (např. kvadratické), tak také na lokální.

Tak se vyznáš, co je na obrázku? Děkuji.

Katka1994 · 19. 01. 2014 03:25

↑ jelena:

Dobrý den, mockrát děkuji za reakci.

Mám tedy určeno správně?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/98089_Extremy.jpg

Takže .. v bodech $[-\sqrt{3},-11]$ a $[\sqrt{3},-11]$ je lokální minimum a zároveň globální minimum

... a v bodě $[0,7]$ je poze lokální maximum ..

A co s krajními body intervalu definičního oboru? V bodech $[-3,61]$ (na obrázku je to bohužel nepřesně vidět, malé rozlišení grafu) a v bodě $[2,-9]$ ? Bude tam také nějaký extrém, nebo pouze globalita se určuje z pozice těchto bodů?

jelena · 19. 01. 2014 10:50

↑ Katka1994:

pro poslední obrázek - na závěr vyhodnocení globálních extrémů posuzuješ hodnoty funkce (pro názornost si vezmeš pravítko položíš ho vodorovně a projedeš hodnoty funkce (y) v bodech:
$[-\sqrt{3},-11]$ , $[\sqrt{3},-11]$ - ano, zde nejen lokální, ale i globální minimum, jelikož menší hodnoty funkce na intervalu nejsou.
$[2,-9]$ - nic zajímavého, na intervalu jsou větší a menší hodnoty funkce,
$[0,7]$ - sice lokálním maximum, ale na intervalu nic zajímavého, jsou větší a menší hodnoty funkce.
$[-3,61]$ - pravítkem jsi ujela nejvýš, hodnota funkce je největší, tedy zde je globální maximum na intervalu.

Důležité si uvědomit, že na intervalu v principu každý bod můžeš považovat za kandidáta na globální extrém, ale je jasné, že pomocí klíčových bodů - lokální extrémy a hranice intervalu si situaci zjednodušíme (pokud je funkce spojitá na celém intervalu, tak zachovává své chování mezi jednotlivými kandidáty).

Už se vyznáš? Děkuji.

Katka1994 · 20. 01. 2014 17:23

↑ jelena:

Děkuji moc za reakci a odpovědi. Směla bych ještě jednu otázku? Proč v bodě $[2,-9]$ není lokální extrém, když v bodě $[-3,61]$ extrém je? Pořád se mi mate poučka, že extrém je pouze tehdy, když funkce klesající se mění na rostoucí a naopak.

jelena · 20. 01. 2014 21:00

↑ Katka1994:

Extrém označuje krajnost, výstřednost, mimořádnost :-)

Pokud funkce se změní z klesající na rostoucí, vzniká mimořádně výstřední bod, který se může pochlubit tou vlastnosti, že hodnota funkce není v žádném jiném bodě menší. Pokud je extrém lokální, stačí, když si to takový bod myslí alespoň na vzdálenost svého nosu.

$[-3,61]$ se dívá na ostatní body funkce (z intervalu) z výšky hodnoty funkce jako z rozhledny, tedy je ho můžeme považovat za extrém globální, jelikož žádný není tak výstřední.

$[2,-9]$ nemůže být lokální extrém, protože nedošlo ke změně chování funkce z rostoucí na klesající (ani naopak), tedy ani na délku svého nosu si o sobě nic nemůže myslet. A když se rozhlédne okolo (zpět na interval, do kterého patří), tak ten pocit je ještě více skličující - je jasné proč? Děkuji.

Katka1994 · 20. 01. 2014 21:25

↑ jelena:

Dobrý den, mockrát děkuji za odpovědi a pomoc při pochopení extrémů! Jste skvělá! :-)

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2014 16:07

Lokální a globální extrémy

#2 15. 01. 2014 16:24 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Spatne citanie textu

#3 18. 01. 2014 11:34

Re: Lokální a globální extrémy

#4 18. 01. 2014 11:42

Re: Lokální a globální extrémy

#5 18. 01. 2014 12:10

Re: Lokální a globální extrémy

#6 18. 01. 2014 14:05

Re: Lokální a globální extrémy

#7 19. 01. 2014 03:25

Re: Lokální a globální extrémy

#8 19. 01. 2014 10:50

Re: Lokální a globální extrémy

#9 20. 01. 2014 17:23

Re: Lokální a globální extrémy

#10 20. 01. 2014 21:00

Re: Lokální a globální extrémy

#11 20. 01. 2014 21:25

Re: Lokální a globální extrémy

Zápatí