Matematické Fórum

tabackej · 20. 01. 2014 22:03

Dobrý večer,
chtěl bych zda existuje, a za byste mi mohli poradit, nějaký obecný návod, jak určovat druhy bodů nespojitosti u funkcí tohoto typu:
$f(x)=\frac{2}{e^{\frac{x}{x+5}}-1}$

Naleznu si body nespojitosti, $-5, 0$ , ale při vyšetřování jednostranných limit se bohužel zaseknu a nejsem schopen se dostat k výsledkům.

Výsledky jsou:
$\lim_{x\to-5^{-}} = 0 \lim_{x\to-5^{+}} = -2 \lim_{x\to0^{-}} = -\infty \lim_{x\to0^{+}} = \infty$

Předem děkuji za jakoukoliv radu a odpověď.

:D · 20. 01. 2014 22:25

Dobrý večer.

Keďže sa tie limity líšia, tak by to mali byť body nespojitosti druhého druhu, kde je teda problém?

tabackej · 20. 01. 2014 22:33

Špatně jsem se asi vyjádřil. Dělá mi problém určit hodnoty těch jednostranných limit, abych mohl vyvodit o který druh nespojitosti se jedná. K testu bohužel nemohu mít WA a nechce se mi spoléhat na to, že budu muset vyšetřovat funkci kde se $e^{cokoliv}$ nenachází

:D · 20. 01. 2014 22:51

$\lim_{x\to5^{-}}\frac{2}{e^{\frac{x}{x+5}}-1}$

Neviem ako veľmi to treba matematicky odôvodňovať, tak to spravím najskôr nejako, a ak to nebude stačiť, tak sa to vylepší.

Skúsme teda limitiť.
Vidíme, že ak sa k -5 blížime zľava, tak $-5^{-}+5<0$ .
Potom tam máme zlomok $\frac{-5^{-}}{<0}$ , záporné znamienka zmiznú a ostane nám tam podiel $\frac{5}{0^{+}}=+\infty$ , $e^{+\infty}=+\infty$ , keď odčítame 1, dá to stále +nekonečno. A 2/+inf =0

Tú druhú limitu spravíme rovnako. Treba stále dávať pozor aké znamienka majú tie čísla.

V tom treťom prípade to treba mať na vedomí ešte viac:
x/(x+5), keď x ide k nule zľava dáva nulu, ale to nie je presná nula, ale nula zľava.
Potom $e^{0^-}=1^-$ a ďalej to je to isté.

Stačí takto alebo matematickejšie?