Matematické Fórum

Crouch · 20. 01. 2014 16:22

Ahoj všem,

potřeboval bych poradit s tímto příkladem: najděte lokální extrémy funkce: f(x,y)= xy + $\frac{50}{x}$ + $\frac{20}{y}$

Všemi předem díky za pomoc

:D · 20. 01. 2014 18:33 — Editoval :D (20. 01. 2014 18:35)

Ahoj. Nutná podmienka, aby nejaký bod (x,y) bol lok. extrém je:

grad f(x,y)=(0,0)
Teda všetky body, kt. spĺňajú tamtú rovnosť majú šancu byť extrémom.

Potom spravíš Hessovu maticu v tom bode (v každom z nich) a vyšetríš jej definitnosť.
Pozitívne definitná - v tom bode je lok. min.
Negatívne definitná - lok. max

Crouch · 20. 01. 2014 19:15

↑ :D:

a jak se spočítají parciální derivace těch zlomků? to je 50x $^{-1}$ a 20y $^{-1}$

:D · 20. 01. 2014 19:30 — Editoval :D (20. 01. 2014 19:31)

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=y-\frac{50}{x^{2}}$
To máš ako deriváciu funkcie $x^{-1}$ , mínus jednotka zbehne pred, a hore (exponent) odčítaš jedna, teda dostaneš -2.

Crouch · 20. 01. 2014 19:37

↑ :D:

takže to bude podle x: y - $\frac{50}{x^{2}}$

podle y: x - $\frac{20}{y^{2}}$

:D · 20. 01. 2014 19:38

Áno.

Crouch · 21. 01. 2014 13:44 — Editoval Crouch (21. 01. 2014 14:55)

Dále to bude takto? : $\frac{\partial ^{2}f}{\partial x \cdot \partial x }$ $= \frac{50}{x^{3}}$

$\frac{\partial ^{2}f}{\partial x \cdot \partial y }$ $= 1$

$\frac{\partial ^{2}f}{\partial y \cdot \partial x }$ $= 1$

$\frac{\partial ^{2}f}{\partial y \cdot \partial y }$ $= \frac{20}{y^{3}}$

Crouch · 21. 01. 2014 15:10

ještě jsem zapomněl, že v zadání je x,y > 0

jelena · 21. 01. 2014 16:59

↑ Crouch:

Zdravím,

ještě jsem zapomněl, že v zadání je x,y > 0

to se pravděpodobně použije až na závěr - pokud vyjde více bodů lokálních extrému, tak z nich zvolíme splňující tuto podmínku. Ale 2. parciální derivace dxdx a dydy se mi nezdají v pořádku - kontroloval jsi v MAW (před vložením dotazu do sekce VŠ)? Děkuji.

Crouch · 21. 01. 2014 17:22

↑ jelena:

a mohu se zeptat, jak by tedy ta 2.parciální derivace dxdx a dydy měla vyjít? Dík za odpověď

jelena · 21. 01. 2014 17:36

↑ Crouch:

jen si zkontroluj, jak jsi derivoval po dx $y-\frac{50}{x^{2}}=y-50x^{-2}$ takový přepis pomůže (obdobně po dydy).
Jinak si vyzkoušej kontroly v MAW, děkuji.

Crouch · 21. 01. 2014 17:42

↑ jelena:

jj díky, zadal jsem to do MAW a už je to ok, díky za pomoc

Crouch · 22. 01. 2014 12:09

Ještě bych se chtěl zeptat, jak se došlo ke stac. bodu (5,2)

jelena · 22. 01. 2014 13:32

↑ Crouch:

také děkuji. Pro hledání stac. bodu třeba řešit soustavu prvních parciálních derivací (použila bych metodu dosazovací):

$y-\frac{50}{x^{2}}=0$
$x-\frac{20}{y^{2}}=0$

Crouch · 22. 01. 2014 13:36

↑ jelena:↑ jelena:

jojo to vím, ale nějak jsem se z toho nedopátral, že vyjde x 5 a y 2.

jelena · 22. 01. 2014 14:20

↑ Crouch:

tak napiš, prosím, jak jsi postupoval. Já navrhuji použit vyjádření: $y=\frac{50}{x^{2}}$ , které dosadíme do 2. rovnice a máme:
$x-\frac{20x^4}{50^{2}}=0$

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2014 16:22

Lokální extrémy funkce

#2 20. 01. 2014 18:33 — Editoval :D (20. 01. 2014 18:35)

Re: Lokální extrémy funkce

#3 20. 01. 2014 19:15

Re: Lokální extrémy funkce

#4 20. 01. 2014 19:30 — Editoval :D (20. 01. 2014 19:31)

Re: Lokální extrémy funkce

#5 20. 01. 2014 19:37

Re: Lokální extrémy funkce

#6 20. 01. 2014 19:38

Re: Lokální extrémy funkce

#7 21. 01. 2014 13:44 — Editoval Crouch (21. 01. 2014 14:55)

Re: Lokální extrémy funkce

#8 21. 01. 2014 15:10

Re: Lokální extrémy funkce

#9 21. 01. 2014 16:59

Re: Lokální extrémy funkce

#10 21. 01. 2014 17:22

Re: Lokální extrémy funkce

#11 21. 01. 2014 17:36

Re: Lokální extrémy funkce

#12 21. 01. 2014 17:42

Re: Lokální extrémy funkce

#13 22. 01. 2014 12:09

Re: Lokální extrémy funkce

#14 22. 01. 2014 13:32

Re: Lokální extrémy funkce

#15 22. 01. 2014 13:36

Re: Lokální extrémy funkce

#16 22. 01. 2014 14:20

Re: Lokální extrémy funkce

Zápatí