Matematické Fórum

r.zelenka · 16. 01. 2014 21:44

Dobrý den,

počítám příklad na - pokud jsem to správně pochopil - Gaussovo větu. Zadání i výpočet přikládám níže.

Odkaz.

Chtěl bych tady nějakého dobráka poprosit, jestli by mi můj výpočet zkontroloval, protože mi na školní příklad přijde trochu divné, aby povrch polokruhu vyšel -128/5, ale počítal jsem to dvakrát a k jinému výsledku se prostě nemohu dopátrat.

Snad je to dostatečně čitelné.. Díky moc za pomoc.

jelena · 17. 01. 2014 12:22 — Editoval jelena (23. 01. 2014 20:48)

Zdravím,

než se dostaví nějaký dobrák, tak nahlásím, že nečitelné je to dost a prospělo by alespoň přepsat zadání v TeX. Ale zas samostatný přístup byl uplatněn, tak jsem kontrolovala. To, co jsem rozluštila, mi vyšlo stejně.
A teď tak uvažuji, zda výsledek může být záporný - podle mne "ano" (což ale neznamená, že správně). Úlohou je výpočet integrálu, ale ne jeho geometrické aplikace (výsledek pro geometrickou aplikaci by měl být stejný v absolutní hodnotě, jako pro $x\geq 0$ , kde vychází kladně).

Má zde vliv, že při obcházení zadané plochy (pro $x \leq 0$ ) mi plocha zůstává po pravé stravě, tedy je v záporném smyslu? A teď budu potěšená, pokud některý hodný kolega mé úvahy laskavě zkritizuje, děkuji :-)

Jelena> edit pro kolegu Rumburaka

Obrázek řešení kolegy.

Zadání: Vypočtete integrál:

$\iint_S yx^2\d y\d z-y^2x\d z\d x+xz \d x\d y$

oblast S $x^2+y^2\leq z\leq 4$ , $x\leq 0$

r.zelenka

↑ jelena: Zdravím, děkuji za reakci. Během odpoledne to přepíšu a ještě to sem hodím jednou, je fakt, že to moc četelný není, za což se omlouvám.. :-). Jinak pokud je i u Vás výsledek $\frac{-128}{5}$ tak bych to snad mohl mít správně :-)

Pokusil jsem se o čitelnější variantu zde:
Odkaz

Rumburak · 24. 01. 2014 09:48

↑ jelena:
Ahoj. Opsal jsem si zadání (snad správně) a zkusím si tím zpestřit weekend :-).

jelena · 24. 01. 2014 13:05

↑ Rumburak:

děkuji a zdravím :-) U nás se bude zpestřovat hlavně závěrem přípravy na okresní olympiádu z dějepisu.

Rumburak

Takže můj příspěvek k diskusi:

Především bychom měli důsledněji rozlišovat mezi oblastí v $\mathbb{R}^3$ a její hranicí.
Symbol $S$ zde znamená hranici oblasti $M$ určené nerovnostmi $x^2+y^2 < z < 4$ , $x < 0$ (u oblasti se obvykle předpoklá otevřenost,
proto jsem použil ostrá "nerovnítka", což na náš výpočet nemá vliv).
Symbol $S^+$ u plošného integrálu patrně znamená, že ho máme počítát vzhledem ke kladné orientaci plochy $S$ , G-O věta pak dává

$I :=\iint_{S^+} (yx^2\,\d y\,\d z-y^2x\,\d z\,\d x+xz\, \d x\,\d y) = \iint_{S^+}(yx^2, -y^2x, xz)\,\d\vec{S}=\\= \iiint_M \mathrm{div} (yx^2, -y^2x, xz)\,\d x \,\d y \,\d z = \iiint_M x\,\d x\, \d y \,\d z$ .

Již odtud je vidět, že $I \le 0$ (ježto $x < 0$ ) .
Substitucí do cylindrických souřadnic mi vyšlo $I = -\frac{2^5}{3}$ , ale pro jistotu si to ještě přepočítám a případně opravím.

Další aproximace vásledku : $I = -\frac{128}{3}$ (předtím mi tam uteklo nějaké násobení).

jelena · 26. 01. 2014 08:37

↑ Rumburak:

Zdravím a děkuji za víkendové výsledky,

říkala jsem si, že číselný výpočet projdu za bílého dne:-) Mně to tedy pořád vychází stejně s kolegou -128/15. Ale to není podstatné. "Úvodní integrál" máme stejně.

Symbol $S^+$ u plošného integrálu patrně znamená, že ho máme počítát vzhledem ke kladné orientaci plochy $S$

Tak to se přiznám, že znaménko + nad S jsem nerozluštila (brala jsem jen S). Jinak označení "oblast" jsem do zadání připsala, kolega v zadání má jen S.
S tímto vysvětlením, že "v kladném smyslu" - obcházíme tedy půlkruh proti ručičkám.

Jelena napsal(a):
Má zde vliv, že při obcházení zadané plochy (pro $x \leq 0$ ) mi plocha zůstává po pravé stravě, tedy je v záporném smyslu?

to jsem obcházela "po ručičkám". Tedy mé vysvětlení k zápornému výsledku asi není opodstatněné. No v každém případě hlavním dotazem bylo, zda výsledek může být záporný, to je vysvětleno, že může ↑ Rumburak:. Děkuji velice a zdravím.

r.zelenka · 26. 01. 2014 11:39

Také děkuji oběma ;)

Rumburak · 27. 01. 2014 09:56

↑ jelena:

Ahoj.

To "obcházení plochy" má smysl, když máme plochu ohraničenou křivkou a můžeme tím definovat orientaci křivky
(tak, jak jsi to popdsala). Zde ale máme trojrozměrnou oblast, která je ohraničena plochou. Orientaci té plochy
můžeme mnemotechnicky určit takto: Když se po té ploše budeme "procházet" (asi jako po zemském povrchu)
majíce pří tom tělo mimo onu oblast, pak se procházíme po "kladném" povrchu plochy. U křivky hraje roli orientace
tečného vektoru, u plochy orientace normálového vektoru.

jelena · 27. 01. 2014 15:00

↑ Rumburak:

děkuji a zdravím,
já jsem asi měla nesprávnou představu obcházení křivky, co vzniká v projekci (když převádíme do cylindrických souřadnic). Ještě mám dotaz - kolegyně zde přišla, že ještě chybí "víčko". My jsme ho také měli mít a proto máme rozdíl ve výsledku nebo ne? Děkuji, nehoří.

Rumburak

↑ jelena:

I zde je součástí hranice té oblasti vedle "pláště" též "víčko" a pokud bychom počítali onen plošný integrál přes celou hranici přímo,
pak bychom museli spočítat zvlášť integrál přes plášť a integrál přes víčko a v závěru oba tyto mezivýsledky sečíst.
Ale když ten plošný integrál přes celou hranici převedme pomocí G-O věty na trojrozměrný integrál přes oblast, potom úvahy
o plášti a víčku odpadají, prostě se použije obvyklým způsobem Fubiniova věta (případně v kombinaci s větou o substituci).

Matematické Fórum

#1 16. 01. 2014 21:44

Dvojný integrál - povrch tělesa

#2 17. 01. 2014 12:22 — Editoval jelena (23. 01. 2014 20:48)

Re: Dvojný integrál - povrch tělesa

#3 17. 01. 2014 13:42 — Editoval r.zelenka (17. 01. 2014 17:17)

Re: Dvojný integrál - povrch tělesa

#4 24. 01. 2014 09:48

Re: Dvojný integrál - povrch tělesa

#5 24. 01. 2014 13:05

Re: Dvojný integrál - povrch tělesa

#6 25. 01. 2014 12:34 — Editoval Rumburak (27. 01. 2014 09:27)

Re: Dvojný integrál - povrch tělesa

#7 26. 01. 2014 08:37

Re: Dvojný integrál - povrch tělesa

Jelena napsal(a):

#8 26. 01. 2014 11:39

Re: Dvojný integrál - povrch tělesa

#9 27. 01. 2014 09:56

Re: Dvojný integrál - povrch tělesa

#10 27. 01. 2014 15:00

Re: Dvojný integrál - povrch tělesa

#11 27. 01. 2014 16:15 — Editoval Rumburak (27. 01. 2014 16:16)

Re: Dvojný integrál - povrch tělesa

Zápatí