Matematické Fórum

frankma

Zdravím.
Pravděpodobně je to úplná banalita, ale nikde jsem nemohl naleznout jak mám postupovat, když potřebuji nakreslit
graf x/(x^2+1) $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$ prosím nějakou dobrou duši o radu.

Rumburak · 24. 01. 2014 11:32

↑ frankma:

Zdravím také.

Takovéto úlohy se řeší v souvislosti s vyšetřováním průběhu finkcí, což patří do diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné.

frankma

Já vím kam to zařadit, jen nějak netuším, ten první krok, abych zjistil, že je to zrovna tahle funkce jestli se mohu zeptat, spíš jak bych měl postupovat?

Honzc · 28. 01. 2014 12:40 — Editoval Honzc (28. 01. 2014 12:42)

↑ frankma:
1.Nejdříve urči Df, případně obor Hf a zda je sudá, lichá nebo periodická.
2.Potom mužeš určit průsečíky s osou x a s osou y.
3.Dále stacionární body (derivace fce je rovna nule) (a tedy l.maxima a l.minima)
4.Pak zjisti zda má fce nějaké inflexní bodu (druhá derivace je rovna nule)
5.Potom třeba intervaly kde je funkce rostoucí a kde klesající a intervaly konkávnosti a konvexnosti.
6.Teď vypočítej zda nemá funkce nějaké asymptoty (ať už se směrnicí nebo bez směrnice)
7.Můžeš taky zkusit, pokud má fce inflexní body) určit "tečny" v těchto bodech.
8.Pak si zakresli její charakreristické body a načrtni její graf.

Jinak jak postupovat je např. Zde

Freedy · 28. 01. 2014 12:43 — Editoval Freedy (28. 01. 2014 13:13)

Docela by mě zajímalo, když vyjde derivace:
$(\frac{x^2}{x^2+1})'=\frac{2x}{(x^2+1)^2}$
tak k čemu mi bude že zjistím že ta derivace je nulová v bodě x=0.

Bati · 28. 01. 2014 12:53

↑ Freedy:
Ahoj,
derivoval jsi jinou funkci.

Honzc · 28. 01. 2014 13:09

↑ Freedy:
Jak psal ↑ Bati: derivoval jsi jinou funkci
$(\frac{x}{x^2+1})'=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

PanTau · 28. 01. 2014 14:32 — Editoval PanTau (28. 01. 2014 14:34)

↑ frankma:
Ahoj, jak píšou ostatní jde o průběh funkce.
$f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$

Nejprve je třeba určit $D(f) = R$

Nyní je třeba vypočítat limity v krajních bodech funkce, krajní body jsou $+oo, -oo$ a body které nepatří do $D(f)$ , to jsou: $\text{zde žádné}$
$\lim_{x\to+oo}f(x) = 0$
$\lim_{x\to-oo}f(x) = 0$

Dále je potřeba zjistit průsečíky
$Px: 0=\frac{x}{x^{2+1}}$ $=> x = 0$ $Py: y=\frac{0}{0^{2+1}}=>y=0$
Nyní víš že graf prochází bodem 0,0

Dále je třeba derivovat funkci aby jsme zjistili monotonii a lokální extrémy:
$f(x)'=\frac{1-x^{2}}{x^{2}+1}$ zjistíme, kdy je prvni derivace rovna 0, a to je v případě že $x=1, -1$

Dále doporučuji udělat si následující tabulku intervalů:

-00 -1 0 1 +00
- + + -

Z té tabulky vidíš na jakém intervalu roste(+) a klesá(-).
Intervaly:
$(-oo, -1) \text{funkce klesá}$
$(-1, 0) \text{funkce roste}$
$(0, 1) \text{funkce roste}$
$(1, +oo) \text{funkce klesá}$
(jak zjistit znaménka?: vybrat si číslo z intervalu a dosadit do derivace, pokud je kladné: +, záporné:-)

Teď již můžeš kreslit, víš že na souřadnicích 0,0 prochází funkce osou(křížem) + kde roste a klesá,
Samozřejmě vyšetření průběhu obsahuje další kroky, ale pokud chceš jen kreslit, tohle dle mého názoru stačí.
(nejsem žádný matematik, ale mělo by to být správně - dle grafu v odkazu dole je)

GRAF FUNKCE: http://fooplot.com/#W3sidHlwZSI6MCwiZXE … k5OTgiXX1d