Matematické Fórum

suroviak3 · 24. 01. 2014 13:58

Potreboval by som pomôcť s týmto príkladom.

Kružnica $x^2-6x+y^2+4y+12=0$ rotuje okolo priamky x=a, pričom vznikne teleso s povrchom $4\pi ^2$ . Určte a.

Skúšal som to takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Čiže posunul som si kružnicu v smere osi y tak aby bola y-lonová súradnica rovná nule. A povrch ma napadlo vypočítať tak, že najskôr bude rotovať horná časť kružnice, čím dostanem povrch gule a potom hornú časť kružnice pretnem priamkou p: y=a a vypočítam povrch časti ktorá vznikne rotovaním časti kružnice ktorá sa nachádza pod priamkou x. Výsledný povrch bude S1+2*S2+S3 a tento povrch má byť 4PI^2. Problém je v tom, že pri výpočte integrálov mi vychádzajú neurčité výrazy (1/0) a okrem toho ak je to vôbec správne, tak sa mi to zdá dosť zložité.

thriller · 24. 01. 2014 14:05

Rotací kružnice okolo přímky x=a (pro a<=2 a a>=4) vznikne toroid (nebo anuloid nebo jak se tomu správně říká, prostě záchraný nafukovací dětský kruh), jehož povrch má obsah roven $4\pi ^{2}\cdot R\cdot r$ , kde r je poloměr kružnice a R je poloměr rotace. Má-li výdsledný povrch vyjít $4\pi ^{2}$ a r=1, pak i R=!1. Takže z toho mi plyne, že a=2 nebo a=4.
Co myslíte, dá se to takhle?

suroviak3

↑ thriller:
Je to síce jednoduché riešenie ale náš profesor na skúške chce aby sme použili integrálne vzorce pre výpočet povrchu funkcie rotujúcej okolo osi x, t.j vzorec: $S=2\pi *\int_{a}^{b}|f(x)|*\sqrt{1+(\frac{df}{dx})^2}dx$

Honzc · 24. 01. 2014 14:30 — Editoval Honzc (24. 01. 2014 14:31)

↑ suroviak3:
Nemá být ve vzorci $S=2\pi *\int_{a}^{b}|f(x)|-\sqrt{1+(\frac{df}{dx})^2}dx$ místo mínus krát
tedy $S=2\pi\int_{a}^{b}|f(x)|\sqrt{1+(\frac{df}{dx})^2}dx$

suroviak3 · 24. 01. 2014 14:32

↑ Honzc:Áno, už som to opravil.

suroviak3 · 24. 01. 2014 18:16

↑ suroviak3:Nedá sa to naozaj vypočítať nejako cez integrály.

Jj · 24. 01. 2014 20:10 — Editoval Jj (24. 01. 2014 20:22)

↑ suroviak3:

Dobrý večer. Pro zjednodušení výpočtu přesunu danou kružnici do počátku s tím, že bude rotovat
kolem přímky x = x0 (x0 >=1):

$x^2+y^2=1,y'= -\frac{x}{y}$
$ds = \sqrt{1+\frac{x^2}{y^2}}dx=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{y^2}}dx=\frac{1\cdot dx}{\sqrt{1-x^2}}$

$dS = 2\pi (x_0-x)\cdot2ds$ (ds je 1x v oblouku nad x, 1x pod x --> 2ds)

$S = 4\pi \int_{-1}^{1}\frac{(x_0-x)dx}{\sqrt{1-x^2}}=\cdots =4\pi^2x_0$

Z podmínky úlohy $4\pi^2x_0=4\pi^2\Rightarrow x_0=1 \Rightarrow a_1 = 2, a_2=4$

Doplněno: Teď jsem si všiml, že to asi při výpočtu chcete mermomocí nechat rotovat
kolem osy x. Řekl bych, že je to jednak zbytečné, jednak pro výpočet prakticky stejné
(asi jen všude zaměnit x<-->y).

suroviak3 · 24. 01. 2014 20:30

↑ Jj:
Aj tak nerozumiem, čo je to ds. Matematickú analýzu mám prvý semester.

Jj · 24. 01. 2014 20:41 — Editoval Jj (24. 01. 2014 20:45)

↑ suroviak3:

Aha - ds je diferenciál oblouku křivky:
$ds = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}= \sqrt{1+\frac{(dy)^2}{(dx)^2}}dx= \sqrt{1+$\frac{dy}{dx}$^2}dx$
(máte jej taky zahrnut ve vzorci pro výpočet rotační plochy).

Pak ploška rotačního válce poloměru y a výšce ds:

$dS = 2\pi yds$ a odtud integrací celá plocha $S = 2\pi \int_{a}^{b} yds$ (viz Váš vzorec
pro výpočet rotační plochy).

suroviak3 · 24. 01. 2014 21:22

↑ Jj:
Ďakujem

Honzc · 26. 01. 2014 07:05 — Editoval Honzc (26. 01. 2014 07:07)

↑ suroviak3:
Protože je jasné, že výsledné těleso bude anuloid. Pak Tady máš výpočet povrchu pomocí integrálu.
Ten poslední, který tam už není spočítán je ale jasný. Ten se dá najít kdekolv.

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2014 13:58

Aplikácia určitého integrálu

#2 24. 01. 2014 14:05

Re: Aplikácia určitého integrálu

#3 24. 01. 2014 14:22 — Editoval suroviak3 (24. 01. 2014 14:32)

Re: Aplikácia určitého integrálu

#4 24. 01. 2014 14:30 — Editoval Honzc (24. 01. 2014 14:31)

Re: Aplikácia určitého integrálu

#5 24. 01. 2014 14:32

Re: Aplikácia určitého integrálu

#6 24. 01. 2014 18:16

Re: Aplikácia určitého integrálu

#7 24. 01. 2014 20:10 — Editoval Jj (24. 01. 2014 20:22)

Re: Aplikácia určitého integrálu

#8 24. 01. 2014 20:30

Re: Aplikácia určitého integrálu

#9 24. 01. 2014 20:41 — Editoval Jj (24. 01. 2014 20:45)

Re: Aplikácia určitého integrálu

#10 24. 01. 2014 20:56 — Editoval suroviak3 (24. 01. 2014 20:59) Příspěvek uživatele suroviak3 byl skryt uživatelem suroviak3.

#11 24. 01. 2014 21:02 Příspěvek uživatele suroviak3 byl skryt uživatelem suroviak3.

#12 24. 01. 2014 21:13 Příspěvek uživatele suroviak3 byl skryt uživatelem suroviak3.

#13 24. 01. 2014 21:22

Re: Aplikácia určitého integrálu

#14 26. 01. 2014 07:05 — Editoval Honzc (26. 01. 2014 07:07)

Re: Aplikácia určitého integrálu

Zápatí