Matematické Fórum

Chtěl bych se na Vás obrátit s jedním malým problémem, který teďka řeším. Jedná se o relativně složitou (alespoň jsem v tom zatim nenašel žádný jednoduchý trik) geometrickou úlohu.

Uvažujme jednotkovou sféru (povrch koule poloměru 1). V jednom konkrétním bodě na této sféře si zadefinujme vektor V, který je tečný k rovině sféry v daném bodě a dejme tomu, že má velikost 1. Nyní tento vektor sfericky přesunu po křivce alfa, která leží ve sféře. Pro sferický posun platí tyto vlastnosti:

1. vektor svírá s rovinou sféry v bodě, kde se vektor nachází konstantní úhel (v tomto případě nulový)
2. při posunu podél geodetiky (v případě jednotkové sféry se jedná o kružnici o poloměru 1 se středem shodným se středem sféry) zůstává konstantní úhel mezi vektorem a touto geodetikou

Nevim jestli mi to postačí na dobře definovaný "sferický posun vektoru". To, co mě zajímá je, jak se změní úhel mezi vektorem V a tečnou ke křivce alfa, po které se posouvám. Připomínám že křivka alfa je obecná křvivka a ne nutně geodetika, takže se úhel podobně jako u geodetiky svírající s vektorem nezachovává.

Ten problém který řeším je jak vlastně nějak matematicky popsat onen sferický posun.

Mám jednu analogii k této úloze.

Mám kuličku, kterou valím po rovině. Na kuličce zaznamenávám v podobě křivky dráhu, po které se odvalila. Nechť osa z je kolmá krovině, po které valím kuličku. Otázka zní, o jaký úhel se pootočí kulička kolem osy z, pokud kuličku valím takovým způsobem, že její stopa po valení na ní zanechá křivku alfa.