Matematické Fórum

nanny1 · 19. 01. 2014 20:06

Ahoj, moc prosím, mohli byste mi poradit, jak řešit tenhle příklad? Měla jsem ho u zápočtu a měla jsem ho špatně.
Vypočítejte plošný integrál druhého druhu $\int_{}^{}\int_{S}^{}((x+y^{2})/2,-x,yz).\vec{n}dS$ , kde S je část roviny r ležící v prvním oktantu a r: 2x+y+2z=6.
Normálový vektor je vidět z obecné rovnice roviny, jednotkový normálový vektor bude dělený třemi. Potom se to asi mělo řešit pomocí průmětu do roviny xy. Já jsem to řešila tak, že jsem si vyjádřila z pomocí x a y a za z jsem pak dosadila - v záchvatu bezradnosti, vím, že to takhle nejde. Ale pořád nemůžu přijít na to, jak je to správně. :(

Brano · 19. 01. 2014 20:43

Podla mna vsetko to co si slovne opisala je dobre - mozno si len zle vyjadrila $dS$ , ale cele si to robila postupom ako krivkovy integral 1. druhu, cim si si to zbytocne urobila zlozitejsie.

Ked si to prepises poriadne ako k.i. cez formy

$\iint_S \frac{x+y^2}{2}dy\wedge dz -x dz\wedge dx +yz dx\wedge dy$

potom
$z=3-x-y/2$
teda
$\iint \frac{x+y^2}{2}dx\wedge dy -x/2 dx\wedge dy +y(3-x-y/2) dx\wedge dy=\iint y(3-x)dx\wedge dy$
a uz iba spravne urcit hranice - napr.
$\int_0^3dx\int_0^{6-2x}dy y(3-x)=81/2$

ak som niekde neurobil numericku chybu.

nanny1 · 19. 01. 2014 21:31

↑ Brano: Děkuju za odpověď. V testu jsem to ještě roznásobila tím normálovým vektorem roviny.. Jestli to už dobře chápu, pokud dosadím za z, už se pohybuju jenom v trojúhelníku v rovině xy a normála k rovině r mě nemusí vůbec zajímat. Jenom bych se ještě ráda zeptala - možná je to jenom překlep - má nějaký význam to x/2 místo x ve druhém kroku?

Brano · 20. 01. 2014 10:46 — Editoval Brano (20. 01. 2014 12:35)

normala ta musi zaujimat, len ked sa to prepise do foriem, tak uz je tam zaratana - totizto ja som pouzil:
$\vec{n}dS=\vec{dS}=(dy\wedge dz,dz\wedge dx,dx\wedge dy)$
co je vlastne aj dovod preco tam je to x/2

lebo ak tam dosadis $z=3-x-y/2$ t.j. $dz=-dx-dy/2$ tak dostanes $dz\wedge dx=-1/2 dy\wedge dx=1/2 dx\wedge dy$

ak to ale nepoznas ako sa to pocita cez formy, tak napis ako ste to mali definovane a mozeme to urobit aj tak.
pripadne pozri tu:
http://en.wikipedia.org/wiki/Surface_in … tor_fields
ci ste to nerobili nahodou tak.

nanny1 · 25. 01. 2014 17:06

↑ Brano: Ahoj, omlouvám se, že odpovídám až teď.. Našla jsem podobný řešený příklad, řešila jsem to tedy parametrizací x=u, y=v, z=3-u-(v/2), spočítala jsem tečné vektory k u a v křivce a jejich vektorový součin: $\vec{r}_{u}=(1,0,-1), \vec{r}_{v}=(0,1,\frac{-1}{2}), \vec{r}_{u}x\vec{r}_{v}=(1,\frac{1}{2},1)$ . Potom jsem počítala integrál ve tvaru $\int_{0}^{3}\int_{0}^{6-2u}(\frac{u+v^{2}}{2},-x,v(3-u-\frac{v^{2}}{2}).(1,\frac{1}{2},1)dv du$ . Snad už je to takhle dobře..

Brano · 25. 01. 2014 20:45

↑ nanny1:
ano - tak je to skoro spravne - az na par preklepov
$\int_{0}^{3}\int_{0}^{6-2u}\left(\frac{u+v^{2}}{2},-u,v(3-u-\frac{v}{2}\right)\cdot\left(1,\frac{1}{2},1\right)dv du$

nanny1 · 25. 01. 2014 21:18

↑ Brano: Děkuju mockrát za pomoc, x mi tam zůstalo omylem a už vím, proč mi to vycházelo jinak - kvůli tomu v^2. Teď už to vychází správně. :)

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2014 20:06

Plošný integrál

#2 19. 01. 2014 20:43

Re: Plošný integrál

#3 19. 01. 2014 21:31

Re: Plošný integrál

#4 20. 01. 2014 10:46 — Editoval Brano (20. 01. 2014 12:35)

Re: Plošný integrál

#5 25. 01. 2014 17:06

Re: Plošný integrál

#6 25. 01. 2014 20:45

Re: Plošný integrál

#7 25. 01. 2014 21:18

Re: Plošný integrál

Zápatí