Matematické Fórum

Gooorila · 26. 01. 2014 15:04

Dobrý den

Řeším příklady a u jednoho jsem narazil:

$|x^2-2x-3|\le x+1$

Přiznám se že tápu a nevím, jak na to. Mohu poprosit o nakopnutí?

Gooorila · 26. 01. 2014 15:47

Já se to zatím pokouším dělat takto:

Vypíšu si dvě verze rovnice a to:
$x^2-2x-3\le x+1$ a vypočítám. Z výsledku vypočítám diskriminant a dostanu kořeny -1 a 3

druhá verze je:
$-(x^2-2x-3)\le x+1$ a opět pomoci diskriminantu vypočítám kořeny -1a 2.

Zda postupuji správně netuším a i kdyby ano, co s výsledkem dále, také netuším.

Freedy · 26. 01. 2014 16:06

To mínus před absolutní hodnotou není správná věc. Musíš nejdřív určit, na jakém intervalu danou nerovnici budeš řešit.

Ten trojčlen v absolutní hodnotě je rozložitelný:
$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$
Je to parabola otevřená nahoru, čili od -1 doleva a od +3 doprava to bude kladné, tudíž na intervalu:
$x\in (-\infty ;-1>\cup <3;\infty )$
můžeš psát rovnou bez absolutní hodnoty:
$x^2-2x-3\le x+1$
$x^2-3x-4\le0$
$(x-4)(x+1)\le0$
$K_1= <-1;4>$ ---> průnik s intervalem, na kterém jsme danou nerovnici řešili:
$<-1;4> \cap (-\infty ;-1>\cup <3;\infty )=\{-1\}\cup <3;4>$

Nyní vzít ten interval, na kterém bude trojčlen v absolutní hodnotě záporný:
$x\in <-1;3>$
$-x^2+2x+3\le x+1$
$-x^2+x+2\le0$
$x^2-x-2\ge 0$
$(x-2)(x+1)\ge 0$
Nyní je to interval:
$K_2=(-\infty ;-1>\cup <2;\infty )$
a opět průnik s intervalem na kterém jsme to řešili:
$(-\infty ;-1>\cup <2;\infty )\cap <-1;3>=\{-1\}\cup <2;3>$

Nyní stačí udělat závěr = sjednocení těchto dvou konečných intervalů:
$[\{-1\}\cup <2;3>]\bigcup_{}^{}[\{-1\}\cup <3;4>]=\{1\}\cup <2;4>$

Gooorila · 27. 01. 2014 18:31

Děkuji za radu a omlouvám se, že reaguji až nyní.

Takže já shrnu to, co chápu:
$|x^2-2x-3|\le x+1$

Nejdříve se pustím do té absolutní hodnoty, takže počítám
$x^2-2x-3$

což je kvadratická rovnice a mohu počítat Diskriminant. Ten je 16, takže vypočítám kořeny
$x_{1}=3$
$x_{2}=-1$

Pak počítám:
$(x-x_{1})(x-x_{2})$

a dostávám tvar:
$(x-3)(x+1)$

Jak jste věděl, že je to parabola, to nevím. Já si udělal tabulku, kde jsem zapsal kořeny -1 a 3 do sloupců, do řádků jsem dal x-3 a X+1. Vždy jsem dosadil jakékoli číslo z intervalu sloupce (-nekonečno - -1, -1 - 3, 3 - nekonečno) a vždy dosadil do výpočtu. Když vyšlo kladné, tak jsem dal plus, když záporné, tak minus. Tím jsem dospěl ke stejnému výsledku, jako vy:
$x\in (-\infty ;-1>\cup <3;\infty )$

A dál jsem v koncích :o/. Vezmu zadání, zruším absolutní hodnotu, převedu pravou stranu na levou tak, aby na pravé zůstala nula. Zase vypočítám D, zase dostanu kořeny...nevím. Koukám na Vaše řešení a nedocvakává mi to. Omlouvám se.

jelena · 29. 01. 2014 22:41

↑ Gooorila:

Zdravím,

procházím starší témata. Máš nerovnici s absolutní hodnotou a nalezením nulových bodů jsi našel intervaly pro odstranění absolutní hodnoty (s tomu odpovídajícím znaménkem). Jelikož v absolutní hodnotě kvadratický trojčlen (odvozeno od kvadratické funkce, jehož grafem je parabola - viz ↑ Freedy:), máme pro 2 větví paraboly stejné znaménko (+). A pro "prostřední část paraboly" znaménko (-).

Ke stejnému výsledku však dojdeš i použitím rozkladu na součin i použitím znamének součinu. Po rozdělení na intervaly odstraňuješ absolutní hodnotu s použitím příslušného znaménka a na odpovídajícím intervalu vyřešíš svoji nerovnici.

Důležité je, že řešení nerovnice na intervalu je ještě omezeno intervalem, na kterém se řešilo.

A dál jsem v koncích :o/. Vezmu zadání, zruším absolutní hodnotu, převedu pravou stranu na levou tak, aby na pravé zůstala nula. Zase vypočítám D, zase dostanu kořeny...nevím.

Vyřešíš kvadratickou nerovnici obdobně jako stanovení intervalu v předchozích krocích a dokončíš průnikem intervalů řešení nerovnice a intervalu, na kterém jsi odstraňoval absolutní hodnotu. Podrobně to rozepsal kolega ↑ Freedy:, případně ještě materiál.

Je vyřešeno? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2014 15:04

Rovnice s absolutní hodnotou

#2 26. 01. 2014 15:47

Re: Rovnice s absolutní hodnotou

#3 26. 01. 2014 16:06

Re: Rovnice s absolutní hodnotou

#4 27. 01. 2014 18:31

Re: Rovnice s absolutní hodnotou

#5 29. 01. 2014 22:41

Re: Rovnice s absolutní hodnotou

Zápatí