Matematické Fórum

Optix · 26. 01. 2014 14:38 — Editoval Optix (26. 01. 2014 14:39)

Ahoj všichni, potřeboval bych poradit s příkladem, mám zadánu Fourierovu řadu funkce $f(x)=x$ na intervalu $(0, 2\pi )$ . Daná řada mi vyšla jako $f(x)=\pi -2\sum_{1}^{\infty }\frac{\sin (nx)}{n}$
tedy $a_0=2\pi,a_n=0,b_n=-\frac{2}{n}$ nyní mám tuto řadu zderivovat, tady přichází můj problém, nevím jestli derivace této funkce je
$f'(x)=-1+\sum_{1}^{\infty }((-1)^n*2-2)\cos (nx))$
nebo
$f'(x)=\sum_{1}^{\infty }(- \frac{2}{n^2}*\cos (nx))$
a nebo ani jedna? :(
pokud je to ta druhá varianta, tak proč to tak je? Prosím poraďte, budu vděčný za každou radu!!! :)
Předem děkuji za pomoc :)

jelena · 26. 01. 2014 16:14

Zdravím,

mně přijde, že ani jedná. $\pi$ , $n$ jsou konstanty, pro derivaci součtu zkus si rozepsat několik členů, derivuješ sin(nx), což je jasné (a nezapomenout na vnitřní funkci (nx)). Je to vidět? Děkuji.

Optix · 26. 01. 2014 16:51

Děkuju a jasně $f'(x)=\sum_{1}^{\infty }(- 2*\cos (nx))$ takhle by to snad mělo být správně, a to je derivace člen po členu, ale kdybych chtěl použit vzorec tedy že mohu členy vyjádřit jako
$a_0'=\frac{1}{\pi}*(f(2\pi)-f(0))$
$a_n'=(-1)^n*a_0'+n*b_n$
$b_n'=-n*a_n$

šlo by to v tomhle případě?

jelena · 26. 01. 2014 18:23

↑ Optix:

ano, člen po členu mi vyšlo stejně.

představuji si, že derivuješ tvar řady $f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ (kopírováno odsud) a sbíráš koeficienty u sin a u cos. Potom $a_0'=0$ a pro další členy uvažuješ derivaci součinů napr. $(a_n(x) \cos nx)^{\prime}$

Tedy $a_n'=(-1)^n\cdot a_0'+n\cdot b_n$ mi snad vyšlo stejně, ale $b_n'$ už ne. Pokud Tvůj zápis má obecný smysl (nevztahuje se ke konkrétnímu zadání?). Ale asi jsem vzorec pro derivaci neviděla jako výsledek odvození, jen jako derivování člen po členu. Snad by pomohl nějaký odkaz, podle kterého postupuješ. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2014 14:38 — Editoval Optix (26. 01. 2014 14:39)

Fourierova řada - derivace

#2 26. 01. 2014 16:14

Re: Fourierova řada - derivace

#3 26. 01. 2014 16:51

Re: Fourierova řada - derivace

#4 26. 01. 2014 18:23

Re: Fourierova řada - derivace

Zápatí