Matematické Fórum

auditor · 27. 01. 2014 19:43

Mám dokázat, že posloupnost je klesající:
$\frac{\sin \frac{1}{n}+\frac{3}{n^{3}}}{1-\cos \frac{1}{n}}$
Vyjádřil jsem rozdíl:
$a_{n}-a_{n+1}=\frac{\sin \frac{1}{n}+\frac{3}{n^{3}}}{1-\cos \frac{1}{n}}-\frac{\sin \frac{1}{n+1}+\frac{3}{(n+1)^{3}}}{1-\cos \frac{1}{n+1}}$
Chci ukázat, že rozdíl je kladný, ale nedaří se mi jej vhodně upravit.

gadgetka

Rozdíl se vyjadřuje naopak: $a_{n+1}-a_n$ (odčítá se předcházející od následujícího).

auditor · 27. 01. 2014 20:05

↑ gadgetka:
Inspiroval jsem se tady: http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/k … htm#pr_01a

jelena · 27. 01. 2014 23:44 — Editoval jelena (27. 01. 2014 23:59)

↑ auditor:

Zdravím,

rozdíl je v pořádku, jelikož požaduješ pro klesající posloupnost: "Chci ukázat, že rozdíl je kladný". Spíš by chtělo upřesnit co všechno můžete používat - limitu asi ne? Porovnání?

Pro úpravy - spíš takové náměty:zkusila bych na jmenovatele použit vzorce pro poloviční úhly, tak dostaneme $2\sin^2(\frac{1}{2n})$ , potom ke společnému jmenovateli.

Jiná varianta: v čitateli doplnit -1+1, co to dá po rozdělení na více zlomku? $\frac{\sin \frac{1}{n}-1+1+\frac{3}{n^{3}}}{1-\cos \frac{1}{n}}$ ?

Edit: případně uvažovat podíl členů a porovnávat s 1.

gadgetka · 28. 01. 2014 07:02

Tak se omlouvám, jak mám pod kůží svůj styl, tak "nevidím, neslyším a nečtu"... ;)
Jsem zvyklá dokazovat $a_{n+1}-a_n<0$ pro klesající posloupnost, a neuvědomila jsem si, že děláš to samé, jen v opačném pořadí. ;)

auditor · 28. 01. 2014 07:15

↑ jelena:
Děkuji za pomoc.

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2014 19:43

Klesající posloupnost

#2 27. 01. 2014 19:53 — Editoval gadgetka (27. 01. 2014 19:54)

Re: Klesající posloupnost

#3 27. 01. 2014 20:05

Re: Klesající posloupnost

#4 27. 01. 2014 23:44 — Editoval jelena (27. 01. 2014 23:59)

Re: Klesající posloupnost

#5 28. 01. 2014 07:02

Re: Klesající posloupnost

#6 28. 01. 2014 07:15

Re: Klesající posloupnost

Zápatí