Matematické Fórum

PanTau · 28. 01. 2014 00:42

Ahoj, mohl by mi prosím někdo omrknou příklad:

Urči Taylorův polynom T0, T1, T2, T3 v bodě $-3$ funkce $h(x) = \frac{-2}{1+x}+8$

$h(x) = \frac{-2}{1+x}+8$ výpočet: $h(-3) = 1$
$h(x)' = \frac{2}{(x+1)^{2}}$ výpočet: $h(-3)' = \frac{1}{2}$
$h(x)'' = \frac{-4}{(x+1)^{3}}$ výpočet: $h(-3)'' = \frac{1}{2}$
$h(x)''' = \frac{12}{(x+1)^{4}}$ výpočet: $h(-3)''' = \frac{3}{5}$

A nyní můžeme určit:

$T0 = 1$
$T1 = 1+\frac{\frac{1}{2}}{1!}(x-(-3))^{1}$
$T2 = 1+\frac{\frac{1}{2}}{1!}(x-(-3))^{1}+\frac{\frac{1}{2}}{2!}(x-(-3))^{2}$
$T3 = 1+\frac{\frac{1}{2}}{1!}(x-(-3))^{1}+\frac{\frac{1}{2}}{2!}(x-(-3))^{2}+\frac{\frac{3}{5}}{3!}(x-(-3))^{3}$

(T0..T3 jsem nechal v základním tvaru dle vzorce pro lehčí kontrolu kontrolu, samozřejmě bych to ještě upravil) - je to takhle správně? Děkuji :-)

gadgetka

$h(x) = \frac{-2}{1+x}+8\Rightarrow h(-3)=9$
$h(x)''' = \frac{12}{(x+1)^{4}}\Rightarrow h^{\prime \prime \prime}(-3)=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$

PanTau · 28. 01. 2014 10:07

↑ gadgetka:
Děkuji, nevím jak je možné že jsem zrovna v tomhle kroku udělal chybu,

Nyní je to již dobře?

$h(x) = \frac{-2}{1+x}+8$ výpočet: $h(-3) = 9$
$h(x)' = \frac{2}{(x+1)^{2}}$ výpočet: $h(-3)' = \frac{1}{2}$
$h(x)'' = \frac{-4}{(x+1)^{3}}$ výpočet: $h(-3)'' = \frac{1}{2}$
$h(x)''' = \frac{12}{(x+1)^{4}}$ výpočet: $h(-3)''' = \frac{3}{4}$

A nyní můžeme určit:

$T0 = 9$
$T1 = 9+\frac{\frac{1}{2}}{1!}(x-(-3))^{1}$
$T2 = 9+\frac{\frac{1}{2}}{1!}(x-(-3))^{1}+\frac{\frac{1}{2}}{2!}(x-(-3))^{2}$
$T3 = 9+\frac{\frac{1}{2}}{1!}(x-(-3))^{1}+\frac{\frac{1}{2}}{2!}(x-(-3))^{2}+\frac{\frac{3}{4}}{3!}(x-(-3))^{3}$

Rumburak · 28. 01. 2014 10:12

↑ PanTau:

Ahoj. Jiný způsob řešení využívající znalost o součtu geometrické řady:

$h(x) = \frac{-2}{1+x}+8= \frac{-2}{1+(x - (-3)) - 3}+8= \frac{-2}{-2 +(x - (-3))}+8 = \\= \frac{1}{1 +\frac{x - (-3)}{-2}}+8 = \frac{1}{1 - \frac{x - (-3)}{2}}+8 = \sum_{k=0}^{\infty}$\frac{x - (-3)}{2}$^k + 8 = ...$

atd.

PanTau · 28. 01. 2014 10:27

↑ Rumburak:
Ahoj, děkuji za jiný způsob řešení, ale raději se budu držet u toho svého, pokud je správný :-)

Rumburak · 28. 01. 2014 10:37

↑ PanTau:

Zde ↑ PanTau: už je to správně (kontroloval jsem to porovnáním se "svým" postupem).

PanTau · 28. 01. 2014 10:43

↑ Rumburak:
Díky

gadgetka

Jinak to vypadá ok. :)

Edit: Zapomněla jsem kliknout na Odeslat, tak to teď máš alespoň potvrzené z více stran. :)

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2014 00:42

Taylorův polynom - kontrola příkladu

#2 28. 01. 2014 08:11 — Editoval gadgetka (28. 01. 2014 08:16)

Re: Taylorův polynom - kontrola příkladu

#3 28. 01. 2014 10:07

Re: Taylorův polynom - kontrola příkladu

#4 28. 01. 2014 10:12

Re: Taylorův polynom - kontrola příkladu

#5 28. 01. 2014 10:27

Re: Taylorův polynom - kontrola příkladu

#6 28. 01. 2014 10:37

Re: Taylorův polynom - kontrola příkladu

#7 28. 01. 2014 10:43

Re: Taylorův polynom - kontrola příkladu

#8 28. 01. 2014 10:50 — Editoval gadgetka (28. 01. 2014 10:51)

Re: Taylorův polynom - kontrola příkladu

Zápatí