Matematické Fórum

lukasbures7001 · 27. 01. 2014 20:51

Zdravím,
Vím,že to asi nebude nějak zvlášť těžká,ale nějak si s ní nevím rady.
Jak určím celkový odpor nekonečné sítě? Rab je nekonečný součet těch čtyř rezistorů,které se vždy opakují.

mák · 28. 01. 2014 14:51

Zdravím,
tato úloha mě zaujala, protože mě připadala jednoduchá a nikdy jsem nic takového neřešil.

Pokud bude nekonečná síť rezistorů, pak odpor Rab na pravé straně se musí rovnat celkovému odporu. Tj. odporu svorek A-B.

Vypočteme celkový odpor na svorkách A-B postupným připojováním odporů z pravé strany paralelně a sériově (začínáme od odporu Rab).

Zjednodušíme a máme vzorec:
$R_{{\it AB}}={{R\,\left(8\,R+11\,R_{{\it AB}}\right)}\over{4\,R+5\, R_{{\it AB}}}}$

Řešením je kvadratická rovnice.
Záporné řešení nevyhovuje, zbývá tedy kladné:
$R_{{\it AB}}={{\left(\sqrt{209}+7\right)\,R}\over{10}}$
Což je výsledek.

lukasbures7001 · 28. 01. 2014 16:42

Mohl bych Tě prosím poprosit o podrobnější postup? Nemůžu se dostat ke stejnému výsledku jako ty.Vždy mi vyjdu buď nesmyslné rovnice nebo nereálné výsledky.Díky

mák · 28. 01. 2014 17:33

Zdravím,
jedná se pouze o paralelní spojování odporů, vzorec:
$R_{{\it paralelne}}={{R_{1}\,R_{2}}\over{R_{2}+R_{1}}}$

a sériové spojení, vzorec:
$R_{{\it seriove}}=R_{2}+R_{1}$

Takže postupuješ podle schématu. Spojíš paralelně Rab a R:
${{R_{{\it AB}}\,R}\over{R+R_{{\it AB}}}}$

K němu připojíš do série odpor o hodnotě 2R:
${{R_{{\it AB}}\,R}\over{R+R_{{\it AB}}}}+2\,R$

Připojíš paralelně další odpor o hodnotě 2R:
${{2\,R\,\left({{R_{{\it AB}}\,R}\over{R+R_{{\it AB}}}}+2\,R\right)}\over{{{R_{{\it AB}}\,R}\over{R+R_{{\it AB}}}}+2\,R+2\,R}}$

Poslední odpor je připojený sériově a má hodnotu R:
${{2\,R\,\left({{R_{{\it AB}}\,R}\over{R+R_{{\it AB}}}}+2\,R\right)}\over{{{R_{{\it AB}}\,R}\over{R+R_{{\it AB}}}}+2\,R+2\,R}}+R$

Teď zjednoduším co půjde:
${{8\,R^2+11\,R_{{\it AB}}\,R}\over{4\,R+5\,R_{{\it AB}}}}$

No a tento výraz se musí rovnat hodnotě celé nekonečné řady:
$R_{{\it AB}}={{8\,R^2+11\,R_{{\it AB}}\,R}\over{4\,R+5\,R_{{\it AB} }}}$

Vynásobím rovnici jmenovatelem:
$R_{{\it AB}}\,\left(4\,R+5\,R_{{\it AB}}\right)=8\,R^2+11\,R_{ {\it AB}}\,R$

Převedu vše na levou stranu a roznásobím:
$-8\,R^2-7\,R_{{\it AB}}\,R+5\,R_{{\it AB}}^2=0$

Nyní řeším kvadratickou rovnici, přičemž Rab je neznámá [x].
Výsledek je nahoře.

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2014 20:51

síť rezistorů

#2 28. 01. 2014 14:51

Re: síť rezistorů

#3 28. 01. 2014 16:42

Re: síť rezistorů

#4 28. 01. 2014 17:33

Re: síť rezistorů

Zápatí