Matematické Fórum

efka · 28. 01. 2014 12:21

Prosím o pomoc : mám v jednom příkladu vypočítat že $\lim_{n\to\infty }\frac{Fn + 1}{Fn}= \varphi$
když vím z obecného vzorce fib. posloup. že \varphi je hodnota zlatého řezu.
děkuji

efka · 28. 01. 2014 12:22

to varphi melo byt $\varphi$

Brano · 28. 01. 2014 12:27

Ak uz vies, ze je to hodnota zlateho rezu, tak co vlastne chces pocitat?

efka · 28. 01. 2014 12:56

no dotsla jsem tohle za úkol musím to vypočítat aniž bych to věděla....

Brano · 28. 01. 2014 13:02

↑ efka:
lebo to zadanie vyzeralo tak, ze "za predpokladu, ze viete ... " a to znelo dost nezmyselne

len este pre overenie - mas na mysli asi
$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}$ ze?
a nie
$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n}+1}{F_{n}}$ - lebo to by bolo ocividne jedna.

efka · 28. 01. 2014 13:04

ano mam na mysli první limitu...:)děkuji

Honzc · 28. 01. 2014 13:21 — Editoval Honzc (28. 01. 2014 13:44)

↑ efka:
Využij toho, že $F_{n}=\frac{(1+\sqrt{5})^{n}-(1-\sqrt{5})^{n}}{2^{n}\sqrt{5}}$
Označíš-li $a=(1+\sqrt{5}),b=(1-\sqrt{5})$
pak se ti bude lépe počítat

Brano · 28. 01. 2014 13:26

Dalo by sa to pocitat tak, ze si napises expilcitny tvar n-teho clenu a nejak to skusis poupravovat - ale da sa to aj elegantnejsie.

ak by sme vedeli, ze ta limita existuje a je konecna, tak mozes urobit toto:
oznac $a_{n}=\frac{F_{n}}{F_{n-1}}$ cize
$a_{n+1}=\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{F_n+F_{n-1}}{F_n}=1+\frac{F_{n-1}}{F_{n}}=1+\frac{1}{a_n}$ a teda ked vypocitame limitu na oboch stranach rovnice, tak dostaneme
$\varphi=1+\frac{1}{\varphi}$ a kedze vieme, ze $\varphi>0$ - tak dostaneme
$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

cize formalne uz iba potrebujes overit, ze ta limita naozaj existuje

Honzc · 28. 01. 2014 13:42

↑ efka:
Nebo dopočítáme limitu jak jsem naznačil
$\lim_{n\to\infty }\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\lim_{n\to\infty }\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{2(a^{n}-b^{n})}=\lim_{n\to\infty }\frac{a-b(\frac{b}{a})^{n}}{2(1-(\frac{b}{a})^{n})}=\frac{a}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi$
Protože $|b|<a$ pak $\lim_{n\to\infty }(\frac{b}{a})^{n}=0$

efka · 28. 01. 2014 15:54

děkuji,prolouskám se tím a snad pochopím:)

Freedy · 28. 01. 2014 16:10

Honzc napsal(a):
Protože $|b|<a$ pak $\lim_{n\to\infty }(\frac{b}{a})^{n}=0$

Omlouvám se že píši do ukončeného tématu, ale jak můžeš umocňovat do nekonečna záporné číslo? Nebo ono se snad v matematické analýze definuje:

$a^x,x\in \mathbb{R},a\in R$ ??

efka · 28. 01. 2014 16:12

Honzo prosím, moc nechápu jak ses dostal k tomu druhému kroku v té úpravě.... jak se tam poprvé vyskytne $\frac{b}{a}$ v limitě?

Brano · 28. 01. 2014 16:14 — Editoval Brano (28. 01. 2014 16:15)

↑ Freedy:
tam uvazujes iba celociselne mocniny
↑ efka:
predelis aj citatela aj menovatela $a^n$

efka · 28. 01. 2014 16:24

aha aha děkuji, a to $\frac{a}{2}$ jsou jako konstatnty které hodím před limitu???díky!!!a n teda musí být celé číslo, že?

efka · 28. 01. 2014 16:44

↑ Brano:
diky!!! taky jsem koukala a teda je třeba zjistit limitu z an+1 a limitu z te prave strany 1+ 1/an? Chápu správně?

Brano · 28. 01. 2014 16:56

↑ efka:
akonahle vies, ze $\lim a_n$ existuje a je $=\varphi\in(0,\infty)$ tak musi platit
$\lim a_{n+1}=\varphi$ a $\lim (1+1/a_n)=1+1/\varphi$

efka · 28. 01. 2014 21:50

děkuji!!!no ještě mám u tohoto příkladu udělat induktivní důkaz- tak když jste mi tak šikovně pomohli jestli náhodou nevíte i tohle děkuji....Vím jak začít pro n=1, n=2 ale pak uz n=3 a nevim jak z toho všeho dokázat základní tvar fib.posl?

Brano · 28. 01. 2014 23:33

↑ efka:
induktivny dokaz coho?

Honzc · 29. 01. 2014 06:53

↑ efka:
To $\frac{a}{2}$ nehodím před limitu, tak vyjde ta limita, neboť při vědomí toho, že $\lim_{n\to\infty }(\frac{b}{a})^{n}=0$
bude $\lim_{n\to\infty }\frac{a-b(\frac{b}{a})^{n}}{2(1-(\frac{b}{a})^{n})}=\frac{a-b\cdot 0}{2(1-0)}=\frac{a}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi$

efka · 29. 01. 2014 10:07

↑ Honzc:
jasný už chápu díky!!!

efka · 29. 01. 2014 10:09

↑ Brano:

Znám vztah $Fn= \frac{1}{\sqrt{5}} \varphi ^{n}- \frac{1}{\sqrt{5}} [1- \varphi ]^{n}$
pomocí indukce je třeba dokázat , že $\varphi ^{n}= \varphi ^{n-1} + \varphi ^{n-2}$
vyšlo mi že pro n= 1 je F1= 1, pro n = 2 je F2= 2 a pro n=3 je F3= 2 atd......
a nevím jak dále postupovat?

Online

Honzc · 29. 01. 2014 11:18 — Editoval Honzc (29. 01. 2014 11:19)

↑ efka:
A nestačilo by to dokázat takto:
Poznámka: ta tvá rovnice pro $F_{n}$ je stejná jako ta má $F_{n}=\frac{(1+\sqrt{5})^{n}-(1-\sqrt{5})^{n}}{2^{n}\sqrt{5}}$
Rovnici $\varphi ^{n}= \varphi ^{n-1} + \varphi ^{n-2}$ přepíšeme na
$\frac{(1+\sqrt{5})^{n}}{2^{n}}=\frac{(1+\sqrt{5})^{n-1}}{2^{n-1}}+\frac{(1+\sqrt{5})^{n-2}}{2^{n-2}}$
$=\frac{(1+\sqrt{5})^{n}}{2^{n}}(\frac{2}{1+\sqrt{5}}+\frac{4}{(1+\sqrt{5})^{2}})$
$=\frac{(1+\sqrt{5})^{n}}{2^{n}}(\frac{2(\sqrt{5}-1)}{4}+\frac{4(6+2\sqrt{5})}{16})$
$=\frac{(1+\sqrt{5})^{n}}{2^{n}}\frac{16}{16}=\frac{(1+\sqrt{5})^{n}}{2^{n}}=\varphi ^{n}$

efka · 29. 01. 2014 12:59

↑ Honzc:
Dík!
No je možné, že to takto stačí nevím totiž jak bych postupovala dál v té indukci...takže asi tohle bude nej...Jen prosím: opět jsem se trochu zasekla v úpravěpředposledního řádku??Prosím o nápovědu:)

Brano · 29. 01. 2014 13:17

podla mna mas dost zmatok v pisani co su vlastne predpoklady a co treba dokazovat - tak by si si mala zacat zvykat pisat zadania presne tak ako boli formulovane/myslene.

Tak ako to je zatial napisane: chces dokazat $\varphi^n=\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}$ t.j. vobec nepotrebujes indukciu - staci dokazat $\varphi^2=\varphi+1$ (a potom ak teda velmi chces, tak mozes induktivne nasobit celu rovnicu faktorom $\varphi^{n-2}$ )

no a tuto identitu dokazes zrejme trivialne ak vies ze $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

efka · 29. 01. 2014 13:23

Já se omlouvám, velmi ráda bych napsala přesné zadání, ale to bohužel neexistuje.. Měli jsme si najít příklad u kterého využijem některé z kapitol probíraných v semestru- a na konzultaci mi byla doporučena tato indukce...Nevím čeho se zde přesně chytit, takže se omlouvám za zmatené zadání...!!

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2014 12:21

"Limita"- Fibonacciho posloupnost

#2 28. 01. 2014 12:22

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#3 28. 01. 2014 12:27

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#4 28. 01. 2014 12:56

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#5 28. 01. 2014 13:02

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#6 28. 01. 2014 13:04

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#7 28. 01. 2014 13:21 — Editoval Honzc (28. 01. 2014 13:44)

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#8 28. 01. 2014 13:26

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#9 28. 01. 2014 13:42

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#10 28. 01. 2014 15:54

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#11 28. 01. 2014 16:10

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

Honzc napsal(a):

#12 28. 01. 2014 16:12

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#13 28. 01. 2014 16:14 — Editoval Brano (28. 01. 2014 16:15)

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#14 28. 01. 2014 16:24

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#15 28. 01. 2014 16:44

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#16 28. 01. 2014 16:56

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#17 28. 01. 2014 21:50

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#18 28. 01. 2014 23:33

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#19 29. 01. 2014 06:53

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#20 29. 01. 2014 10:07

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#21 29. 01. 2014 10:09

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#22 29. 01. 2014 11:18 — Editoval Honzc (29. 01. 2014 11:19)

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#23 29. 01. 2014 12:59

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#24 29. 01. 2014 13:17

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

#25 29. 01. 2014 13:23

Re: "Limita"- Fibonacciho posloupnost

Zápatí