Matematické Fórum

vytautas · 29. 01. 2014 21:20

Zdravím

práve začínam s učebnicou algebry a potrebujem pomoc pri príkladoch, pri ktorých sa neviem pohnúť.

Dokážte nasledujúce vlastnosti deliteľov jednotky v obore integrity
a) súčin dvoch deliteľov jednotky je deliteľom jednotky
b) deliteľ jednotky u z D(obor integrity) delí každý prvok z D
c)ak c je deliteľom každého x z D, tak c je deliteľom jednotky

ak by bola nejaká rada, ktorá by mi pomohla pri všetkých troch tak by som poprosil, ak nie, tak postup k a)

ďakujem

JohnPeca18 · 29. 01. 2014 22:16

a)
nech $a$ a $b$ sú delitele 1. To znamena, ze existuje $c$ a $d$ take ze $a\cdot c=b\cdot d=1$
Teraz ty chces najst take cislo $f$ , ze $a.b.f=1$ . Ako to urobíš?

b) opat, vies ze existuje nejake $c\in D$ , ze $u\cdot c=1$ . A teraz Ti niekto dá ľubovolný prvok $v\in D$ a chce aby si k nemu našiel taký prvok $v'$ , ze $u\cdot v'=v$ Ako to urobíš?

vytautas · 30. 01. 2014 22:25

↑ JohnPeca18:
vďaka

a)čiže ak to správne chápem z $a*c=b*d=1$ a $a*b*f=1$ dostanem $b*f=c$ a $a*f=d$ c,d sú deliteľmi 1ky, čiže aj $a*f, b*f$ sú delitele 1.

b) stále nič

mám niekedy dosť problém aj z jednoduchými dôkazmi, nevedel by si mi poradiť ako sa na to pozerať, aby som sa dostal k riešeniu ? prípadne nejaký materiál s riešenými dôkazmi. Síce mám knihu, ale z nej sa mi podarí vyriešiť tak 50% dôkazov.Ďakujem

JohnPeca18

a)hm, no dokazal si sice ze $a*f, b*f$ su delitele jednicky. Ale ty chces predsa dokazat, ze $a\cdot b$ je delitel jednicky. Teda existuje take $f$ , ze $a.b.f=1$ . Potrebujes vypocitat to f. V kroku $b*f=c$ si uz blizko, cim prenasobis obidve strany aby ti ostalo iba $f$ na lavo?

b)Opat, cim vynasobis obidve strany rovnice $u\cdot v'=v$ aby ti ostalo na lavo iba $v'$ ?

c)Skus si ulohu zapisat pomocou rovnosti ako v predchadzajucich dvoch. Skus si uvedomit, čo máš a čo hľadáš.

Obecne s dôkazmi je to ako zo všetkým. Čím má človek viac skúseností, čím viac to skúša, tým mu to ide lepšie. Vidíš viac dokazov, tak si zapamataš viac fintičiek a techník, ktoré môžeš použiť. Literatúru veľmi nepoznám, iba čo som sa učil zo skrípt do školy. Ale verím, že nejaku literatúru poradí niekto iný. Keď tak si skús na to založiť osobitne tému. Taky tip, co si myslim, ze je uzitocne, je pozriet si vsetky definicie a doteraz dokázané vlastnosti, ktore sa k dokazovanej vete vztahuju. A tiez si pozriet vsetky predpoklady vety a snazit sa ich v dokaze pouzit.

Edit: Predsa ma len napadla dobra knizka, ak ťa zaujíma diskrétna matematika. Tak odporúčam Kapitoly z diskrétnej matematiky. Je celkom čtivá a zaujímavá, je tam dosť dokazov ale nie len na sucho ale i s obrazkami.( I keď, ako hovoril náš profesor, tak najlepší obrázok je rovnica :)) A je tam kopu cviceni. Da sa najst asi aj na uloz to.

vytautas · 31. 01. 2014 21:14

↑ JohnPeca18:

a) aby ostalo len to f tak by som prenásobil inverzným prvkom k b, len neviem, či je to dovolené.
v b) to isté

do dôkazov sa mi ťažko dostáva, lebo v škole je ich minimum.Až teraz si uvedomujem, že toto je vlastne matematika,nie to školské učenie sa naspamäť algoritmov riešenia(nie môj prípad) .

ďakujem za ochotu

JohnPeca18 · 31. 01. 2014 21:36

↑ vytautas:
a) i b) sa riesi presne tak
$b*f=c$ z toho $f=c.d$ Takze ked vynasobis $a.b.f=a.b.c.d=a.c.b.d=1.1=1$
Je dobre si uvedomit ze mozes pouzit komutativitu, kedze je to obor integrity. Preto je aj jedno, ze z ktorej strany tu rovnicu nasobis, ci zlava alebo zprava.
b) obdobne

c) zase si mozes napisat, predpokladas $\forall x\in D \exists c'\in D, c\cdot c'=x$
Z toho chces odvodit ze existuje $c^{-1}\in D, c\cdot c^{-1}=1$

I ked podla mna tu staci si uvedomit, ze ked c deli kazde cislo z D a jednotka patri do D, tak c musi delit i jednotku.

No myslim, ze vacsina ludi to ma naopak. Na strednej ich matika bavi, ale ked pridu na vysoku, tak zistia, ze to je trochu o inom a ze v tejto podobe ich to uz az tak nebavi :). Ak budes matematiku studovat, dokazov si uzijes este az az . .

vytautas · 31. 01. 2014 21:50

↑ JohnPeca18:

s tou komutatívnosťou som počítal, ďakujem

môže byť, že je to tak . Mňa matematika fascinuje. Ľudia len s pomocou pera a papiera dokázali posunúť matematiku tam, kde je. Pre mňa najkrajšia disciplína.Matematiku by som chcel študovať, lenže sa na to necítim, preto v tretiaku sa snažím učiť sa aspoň jednoduché látky z VŠ. Ak by som sa dostal do dôkazov za ten rok a pol, tak to bude asi matematika, ak nie, fyzika v zálohe.

teraz som postúpil ďalej na kongruencie a tie mi idú fajn, ale ešte určite pridám zopár príkladov.

ešte raz vďaka

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2014 21:20

Algebra

#2 29. 01. 2014 22:16

Re: Algebra

#3 30. 01. 2014 22:25

Re: Algebra

#4 30. 01. 2014 23:34 — Editoval JohnPeca18 (30. 01. 2014 23:44)

Re: Algebra

#5 31. 01. 2014 21:14

Re: Algebra

#6 31. 01. 2014 21:36

Re: Algebra

#7 31. 01. 2014 21:50

Re: Algebra

Zápatí