Matematické Fórum

Kure · 30. 01. 2014 18:46 — Editoval Kure (30. 01. 2014 18:51)

Ahoj, mám v zadání najít partikulární řešení, vyhovující daným podmínkám.

$y''=3/\sqrt{x}$

$y(1)=8$

$y'(1) = 9$

Našla jsem postup, kde to někdo integroval, ale moc tomu nerozumim, mohl by mi to někdo prosím vysvětlit :)

$y' = \int_{}^{}\frac{3}{\sqrt{x}}dx = 3\int_{}^{}6x^{-\frac{1}{2}} dx = 3* 2\sqrt{x}+c1 = 6\sqrt{x}+c1$

Pokud by někdo byl tak ochotný, tak by mi pomohlo vědět i jak pokračovat :)

Jj · 30. 01. 2014 19:19

↑ Kure:

Dobrý večer.

Z podmínky $y'(1) = 9$ vypočítejte konstantu c1, pak další integrace a z podmínky $y(1)=8$ spočítat
další konstantu, která "přibude" pri uvedené integraci.

Xorii · 30. 01. 2014 19:21 — Editoval Xorii (30. 01. 2014 19:24)

@Jj

Myslím, že jí šlo v tomhle případě o to jak se zintegroval ten první krok, že mu vyšla ta druhá část (3 integrace 6x...).

Jj · 30. 01. 2014 19:29 — Editoval Jj (30. 01. 2014 19:30)

↑ Xorii:

Aha, dík za upozornění, přehlédl jsem že je tam překlep:

$y' = \int \frac{3}{\sqrt{x}}dx = 3\int x^{-\frac{1}{2}} dx = 3\cdot 2\sqrt{x}+c1 = 6\sqrt{x}+c1$

Kure · 30. 01. 2014 19:35 — Editoval Kure (30. 01. 2014 19:36)

↑ Jj:

Jo, pardon, byl tam překlep. Mě by zajímalo jak se z

$\int_{}^{}\frac{3}{\sqrt{x}}dx$

stalo:

$3\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x}}$

a z toho pak:

$6{\sqrt{x}}$

Protože to nepatří mezi základní integrační úpravy a já nevím proč si můžu vzít "tohle" a dát to sem nebo proč z "tohodle" vznikne "tohle".

palast · 30. 01. 2014 19:43 — Editoval palast (30. 01. 2014 19:50)

Tak ja to trochu rozepíšu, jelikož i ta další integrace je nějáká divná.
$y'=\int \frac{3}{\sqrt{x} } dx = 3 \int x^{-\frac{1}{2}} dx = 6 \sqrt{x} +c1$
Z te druhe podmínky určíš konstantu c1 dosazením do za x = 1 dostaneš $y'(1) = 6+c1=9$
Pak zintegruješ podruhé
$y=6\int (x^\frac{1}{2} + c1) dx=4 x^\frac{3}{2} +c1x+ c2$
a dosazením te druhe podminky určíš konstatnu c2 a máš y.
Konstanta nezávisí na integrační proměnnné, takže ji můžeš vytýkat
A jinak tohle je základní integrál.
Derivaci spočítáš:
$(x^n)' = n x^{n-1}$
A inverze k derivaci je integrál
$\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}$

Jj · 30. 01. 2014 19:52 — Editoval Jj (30. 01. 2014 19:53)

↑ Kure:

$\int_{}^{}\frac{3}{\sqrt{x}}dx = 3\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

= vytknutí koeficientu před integrál:
$\int $K_1 \cdot f_1(x) + K_2 \cdot f_2(x) $dx = K_1\int f_1(x)dx + K_2 \int f_2(x) dx$

$3 \int x^{-\frac{1}{2}} dx =3 \int \frac{ x^{-\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}} dx =6 \sqrt{x} +c1$

= vzorec $\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$

To jsou základní integrační úpravy.