Matematické Fórum

PanTau · 31. 01. 2014 12:59

Ahoj, prosím o kontrolu příkladu

Určete všechny hromadné body množiny $A=\mathbb{Z}$

Odpověď: nemá žádné hromadné body, odůvodnění:

Prvek je hromadným bodem množiny, pokud platí, že v každém jeho redukovaném okolí, jakkoliv malém, leží nějaký bod množiny.

Je to tak správně? Děkuji.

gladiator01 · 31. 01. 2014 14:21

↑ PanTau:
Ahoj,
Není to správně, pořád je to nekonečná množina i když jsou jednodlivé body izolované.
Hromadné body jsou $+\infty; -\infty$

JohnPeca18 · 31. 01. 2014 14:44

↑ gladiator01:
To si nemyslim, že by tam nekonečné body patrili, odkial by sa vzali? Cele čísla predsa neobsahujú prvky $+\infty; -\infty$ . To by sa musela tá množina nejak rozšíriť.
Nie každá nekonečná množina má hromadné body.

treba tenhle link tvrdi to same
http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/1/txc3ba1b.htm

↑ PanTau:
Podľa mňa je to správne

gladiator01 · 31. 01. 2014 15:57

↑ JohnPeca18:
a jak mi teda vysvětlíš, když jsem napsala do písemky, to co říká ↑ PanTau:, že hromadné body neexistují tak mi to škrtla.

PanTau · 31. 01. 2014 16:12

Podle mě je to správně, dle definice, protože jsou izolované.

gladiator01

↑ PanTau:
Jaké by jsi uvedl supremum a infinum $\mathbb{Z}$

a znova:

a jak mi teda vysvětlíš, když jsem napsala do písemky, že hromadné body neexistují tak mi to škrtla.

OiBobik

↑ PanTau:

Všechno záleží na kontextu a vašich definicích.

1) Chápu-li $\mathbb{Z}$ jako metrický prostor (se standardní metrikou - která je v tomto případě diskrétní), pak nemá žádné hromadné body.

2) Chápu-li $\mathbb{Z}$ jako podmnožinu metrického prostoru $\mathbb{R}$ , stále nemá žádný hromadný bod - neexistuje reálné necele číslo, v jehož každém okolí by se nacházelo celé číslo.

3) Teprve až když $\mathbb{R}$ vybavím dvěma extra body $\pm \infty$ a vhodně zadefinuju metriku (tzv. redukovaná metrika), resp. topologii na tomto prostoru (tj. v zásadě prohlásím všechny intervaly tvaru $(-\infty, a)$ za okolí bodu $-\infty$ a všechny intervaly tvaru $(b, \infty)$ za okolí $\infty$ ), jsou body $\pm \infty$ hromadnými body $\mathbb{Z}$ .

Takže jde hlavně o ten kontext. Přiroeznější mi přijde jeden z výkladů 1) a 2), pokud se explicitně neřekne něco jiného.

JohnPeca18

↑ gladiator01:
hm, tak jo, prece jenom máš pravdu. Podle tohoto
http://hore.dnom.fmph.uniba.sk/personal … /ma1_4.pdf

opravdu hromadne body mozu byt aj $+\infty; -\infty$
S tym, že hromadny bod mnoziny A nemusi nalezat mnozine A ale do realnych cisel rozsirenych este prave o $+\infty; -\infty$ .

edit: Jo prispevok ↑ OiBobik: vyššie to zhrnuje lepsie. Je asi dolezite si pozriet materialy z ktorych sa vychadza.

Rumburak · 31. 01. 2014 16:55

Ahoj.

Připomeňme si definici. Mějme topologický (například metrický) prostor $T$ , v něm bod $b$ a množinu $M$ .
Říkáme, že bod $b$ je hromadným bodem množiny $M$ v prostoru $T$ právě tehdy, když k libovolnému okolí $U$ bodu $b$
(uvažujeme okolí s hlediska prostoru $T$ ) je $M\cap (U-\{b\}) \neq \emptyset$ .

Dá se snadno dokázat, že těch bodů v $M\cap (U-\{b\})$ je v takovém přípdě nekonečně mnoho.

Pojem hromadného bodu množiny $M$ závisí nejen na samotné množině $M$ , ale i na tom, ve kterém topologiském prostoru
ji uvažujeme. Proto je obvykle důležité specifikovat i tento kontext (pokud není zřejmý).

Například v prostoru $\mathbb{R}$ se standardní topologií množina $\mathbb{Z}$ nemá žádný hromadný bod , ale v topologickém prostoru
$\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ má hromadné body dva : $-\infty, +\infty$ .

PanTau · 31. 01. 2014 16:56

↑ OiBobik:

$A=\mathbb{Z}$ - celá čísla.

OiBobik · 31. 01. 2014 16:56

↑ JohnPeca18:

Tak primárně jde asi o to, jaký zdroj používá PanTau. To, že někde se budou body $\pm \infty$ brát jako body a jinde ne, je asi jasné i bez googlení. : ))

JohnPeca18 · 31. 01. 2014 16:58

↑ OiBobik:
jo jasne, to jen ja jsem si naivne myslel, ze najdu univerzalni odpoved :)

PanTau · 31. 01. 2014 17:09

↑ OiBobik:

někde se budou body $\pm \infty$ brát jako body a jinde ne

- tím myslíš, zdali v naší definici je to, že $\pm \infty$ patří do $\mathbb{Z}$ - Ano, patří, v tom případě hromadné body jsou: $+\infty,-\infty$

gladiator01 · 31. 01. 2014 17:12

↑ JohnPeca18:

S tym, že hromadny bod mnoziny A nemusi nalezat mnozine A ale do realnych cisel rozsirenych este prave o $+\infty; -\infty$ .

Ano, tak to mame uvedene v definici.
$c \in R^*$ je hromadný bod množiny A pokud $\forall P(c): P(c)\cap A \not= \emptyset$ ,
kde P(c) je prstencové okolí

vanok · 31. 01. 2014 17:13

Poznamka: vsetko zavisi od topologie na akej treba pracovat. Ak nic nie v cviceni napisane, tak ide, normalne, o beznu topologiu.

PanTau · 31. 01. 2014 17:24

Děkuji všem, nyní je mi to jasné.

Matematické Fórum

#1 31. 01. 2014 12:59

Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#2 31. 01. 2014 14:21

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#3 31. 01. 2014 14:44

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#4 31. 01. 2014 15:57

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#5 31. 01. 2014 16:12

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#6 31. 01. 2014 16:32 — Editoval gladiator01 (31. 01. 2014 16:40)

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#7 31. 01. 2014 16:49 — Editoval OiBobik (31. 01. 2014 16:50)

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#8 31. 01. 2014 16:51 — Editoval JohnPeca18 (31. 01. 2014 16:54)

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#9 31. 01. 2014 16:55

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#10 31. 01. 2014 16:56

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#11 31. 01. 2014 16:56

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#12 31. 01. 2014 16:58

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#13 31. 01. 2014 17:09

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#14 31. 01. 2014 17:12

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#15 31. 01. 2014 17:13

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

#16 31. 01. 2014 17:24

Re: Určil jsem správně hromadný bod? - kontrola

Zápatí