Matematické Fórum

:D · 01. 02. 2014 11:57

Ahoj.

V definícii Hamelovej bázy sa spomína, že každý vektor sa dá vyjadriť ako konečná lineárna kombinácia prvkov z tej bázy. V tom zmysle, že tá konečná kombinácia má nenulové koeficienty a tie zvyšné sú nulové.

Pri dôkaze existencie tejto bázy pre ľubovolný vektorový priestor sa ukazuje len, že existuje lin. nezávislá podmnožina toho vektorového priestoru, ktorá ho generuje. Nikde sa nedokazuje, že ľubovolný vektor sa dá vyjadriť ako konečná lin. komb.
Viete to nejako okomentovať, prečo by malo platiť, že sa tie prvky dajú vyjadriť ako konečné kombinácie?

Ďakujem.

Pavel Brožek · 01. 02. 2014 12:11

↑ :D:

Ahoj,

ale vždyť právě to, že báze generuje vektorový prostor znamená, že každý vektor lze vyjádřit jako konečná lineární kombinace prvků báze.

:D · 01. 02. 2014 12:27

A keď si zoberieš bázu $\{1,t,t^2,...,t^n,...\},$ tak ti generuje vektorový priestor reálnych analytických funkcií. Ale nie každá analytická funkcia sa dá napísať ako konečná lin. komb. tej bázy. Alebo priradenie funkcii jej Fourierove koeficienty. Teda funkcii sa priradí postupnosť a postupnosti majú bázu $\{e_j\},$ ale nie každá postupnosť sa dá vyjadriť ako konečná komb.

vanok · 01. 02. 2014 12:55 — Editoval vanok (01. 02. 2014 12:58)

Ahoj ↑ :D:,
Ide o nekonecnu bazu priestoru R na Q.
Tu najdes definiciu
http://mathworld.wolfram.com/HamelBasis.html

Jej existencia sa dokaze vdaka Zornovej lemme, (alebo, co je ekvilentne, vdaka axiome vyberu)

Zaujimave citanie
http://math.stackexchange.com/questions … amel-basis

:D · 01. 02. 2014 13:06

A keď tú definíciu rozšírime na ľubovolné vektorové priestory. Dostaneme niečo takéto.
http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak … /hamel.pdf

Resp., ale to je viac zložité než momentálne treba:
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Basis
a vyľadaj "free basis".

A ako som už hovoril, existenciu viem dokázať, len neviem prečo by sa tie prvky mali dať vyjadriť ako konečné kombinácie.

Pavel Brožek · 01. 02. 2014 13:42

↑ :D:

Ale $M=\{1,t,t^2,...,t^n,...\}$ není Hamelova báze v prostoru reálných analytických funkcí. Právě protože se každý vektor z prostoru reálných analytických funkcí nedá zapsat jako konečná lineární kombinace vektorů z M. M je v tom prostoru Schauderova báze.

:D · 01. 02. 2014 13:47

To ja viem, že to nie je Hamelova báza. Ale ty si napísal, že "báze generuje vektorový prostor znamená, že každý vektor lze vyjádřit jako konečná lineární kombinace prvků báze", na čo som ja ukázal protipríklad.

Pavel Brožek · 01. 02. 2014 13:55

↑ :D:

Aha, tak to jsem špatně pochopil ten tvůj druhý příspěvek. Ale ve svém prvním příspěvku jsem právě myslel, že v tom důkazu existence Hamelovy báze se tím "generováním" myslí konečné lineární kombinace. Nemluvil jsem o generování obecně. Měl jsem to lépe napsat.

:D · 01. 02. 2014 14:03

Dobre. Potom to dáva zmysel. Ešte raz, vďaka za pomoc.

OiBobik · 01. 02. 2014 14:05

↑ Pavel Brožek: ↑ :D:

Pavel Brožek má pravdu v tom, že poud se v kontextu vektorových prostorů, kde se neuvažuje nějaká struktura navíc, hovoří o generování, myslí se tím "konečné" lineární kombinace. Důvod je docela prostý: Bez nějaké další struktury nemá pojem "nekonečných lineárních kombinací" ani smysl.

(Dokonce mi přijde, že hovořit o "generování" nějakou množinou a uvažovat přitom nekonečné sumy, je značně zavádějící i pokud má člověk nějakou topologii na onom vektorovém prostoru - takto "nagenerovaná" množina je teda uzavřené na sčítání a násobení skalárem, ale není ani uzavřena na limity posloupností, což bych čekal, že takové generování v kontextu topologických vektorových prostorů splňovat bude.)

vanok · 01. 02. 2014 14:08

Poznamka:
Tu mas pripomienku definicie analytickych funkcii
http://cs.wikipedia.org/wiki/Analytická_funkce
Ako mozes vidiet, tieto su definovane ako sucet konvergentnych mocninivych rad.

A ako si videl lin kombinacie su uvazovane len pre konecne sucty.
V tvojom priklade
$M=\{1,t,t^2,...,t^n,...\}$
M generuje espace polynomov.
A napr ak by si uvazoval radu z koef (1,1,1,...) dostal vysledok co nie je polynom.

Matematické Fórum

#1 01. 02. 2014 11:57

Hamelova báza

#2 01. 02. 2014 12:11

Re: Hamelova báza

#3 01. 02. 2014 12:27

Re: Hamelova báza

#4 01. 02. 2014 12:55 — Editoval vanok (01. 02. 2014 12:58)

Re: Hamelova báza

#5 01. 02. 2014 13:06

Re: Hamelova báza

#6 01. 02. 2014 13:42

Re: Hamelova báza

#7 01. 02. 2014 13:47

Re: Hamelova báza

#8 01. 02. 2014 13:55

Re: Hamelova báza

#9 01. 02. 2014 14:03

Re: Hamelova báza

#10 01. 02. 2014 14:05

Re: Hamelova báza

#11 01. 02. 2014 14:08

Re: Hamelova báza

Zápatí