Matematické Fórum

tom17 · 01. 02. 2014 18:39

Potřeboval bych pomoci se zjištěním oboru hodnot bez zjišťování průběhu grafu.
$y=2+\mathrm{e}^{\sqrt{x+4}}$
Měl jsem udělat inverzní funkci a vyšlo mi toto
$y=ln^{2}(x-2)-4$ , podle výsledků je to správně, ale když se snažím určit obor odnot což je $H(f)=D(f)^{-1}$ , tak to určuji prostě jako definiční obor, takže $ln>0, \Rightarrow H(f)=(2,\infty )$ , ale podle výsledku to má vyjít $H(f)=<3,\infty )$ a i podle wolframalpha to tak vychází (u základní funkce, ne u inverzní) ale pokud se mi rovají D(f)^-1 a H(f), tak mi to nedává smysl, když to vychází jinak. Poraďte prosím co s tím.

JohnPeca18 · 01. 02. 2014 20:34

Obor hodnot je podla mna dobre urcovat tak, ze si uvedomim intervali monotonnosti. Teda na ktorych intervaloch funkcia klesa a stupa. Potom vysetrit krajne body tychto intervalov a z nich poskladat obor hodnot.
ked sa pozries na funkciu
$y=2+\mathrm{e}^{\sqrt{x+4}}$
tak vidis, ze je stupajuca na celom definicnom obore. Pretoze $e^x$ je stupajuca a $\sqrt{x+4}$ je stupajuca tiez. Definicny obor je interval $x\in <-4,\infty)$ a teda staci dosadit za x -4 pre dolnu hranicu oboru hodnot. To je 3. A vypocitat limitu funkcie v nekonecne, to je nekonecno. Takze skutocne $H(f)=<3,\infty )$

Prečo nesedí $H(f)=D(f)^{-1}$ ?
Pretože si použil pri vyjadrovaní x zo vzorca umocnenie na druhú.
kebyze máš napríklad funkciu $y=\sqrt{x}$ s $H(f)=D(f)=<0,\infty>$ tak pri hladani inverznej funkcie
dostanes $y=x^2$ . Tato funkcia by mala normálne definicny obor cele R. Ale kedze to ma byt inverzna funkcia k povodnej funkcii, tak jej musíš sám určiť definičný obor tak aby to sedelo a teda jej priradíš definičný obor ktorý súhlasý s oborom hodnot povodnej funkcii. Teda ak chceš určiť obor hodnot povodnej funkcii, nepomoze ti v tom hladanie definicneho oboru inverznej funkcii ak si pouzil taku upravu ako je umocnenie na druhu. Naopak, musis inverznej funkcii najst definicny obor, podla oboru hodnot povodnej funkcii.

tom17 · 01. 02. 2014 21:28

Díky moc, ještě by se mi hodila pomoc s jedním příkladem:
$y=\frac{\pi }{3}+arctg\sqrt{\frac{x+4}{3}}$ z čehož je zřejmé že $D(f)=<-4,\infty )$ , opět mám za úkol udělat inverzní funkci a určit obory. Úpravami mi vznikla funkce $y=3tg^{2}(x-\frac{\pi }{3})-4$ , u tohoto už nemám výsledky, takže si nejsem jistý jestli jsem dobře vyjádřil Y.
No zkusil sem to vypočítat přes limitu a vyšlo mi toto:
$\lim_{x\to-4} \frac{\pi }{3}+arctg\sqrt{\frac{x+4}{3}} = \frac{\pi }{3}$
$\lim_{x\to\infty } \frac{\pi }{3}+arctg\sqrt{\frac{x+4}{3}} = \frac{\pi }{3}+ arctg\infty = \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{6}$ , takže $H(f)=(\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6})$ , podle wolframalpha to zas vychází jinak, tak nevim co dělám špatně.

JohnPeca18 · 01. 02. 2014 21:49

Mas to dobre. Wolfram suhlasi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi … %2F2%29%29

Akorat pozor na krajne body intervalu $\pi/3$ tam patri a $5\pi/6$ nepatri.

tom17 · 01. 02. 2014 22:17 — Editoval tom17 (01. 02. 2014 22:19)

Máš pravdu, zapomněl jsem tam napsat jednu závorku a už se nepodíval na rovnici, kterou mi to vypsalo. No, tak na to sem úplně zapomněl, abych určil, zda tam krajní meze patří nebo ne, ale to už není problém určit.
Mockrát děkuju, dost mi to pomohlo.

Matematické Fórum

#1 01. 02. 2014 18:39

zjištění oboru hodnot

#2 01. 02. 2014 20:34

Re: zjištění oboru hodnot

#3 01. 02. 2014 21:28

Re: zjištění oboru hodnot

#4 01. 02. 2014 21:49

Re: zjištění oboru hodnot

#5 01. 02. 2014 22:17 — Editoval tom17 (01. 02. 2014 22:19)

Re: zjištění oboru hodnot

Zápatí