Matematické Fórum

hutrides · 03. 02. 2014 20:09

Zdravím
Prosím o radu při výpočtu integrálu, jediné co mě napadá že by se dalo použít je metoda per partes.
$\int \frac{4x-8}{x^3-4x^2+8x}$
Událám rozklad na parciální zlomky :
$\frac{x-8}{x^3-4x^2+8x} = \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+8}$

(i když nevím jistě jesli toto můžu použít jako jmenovatel ): ${x^2-4x+8}$

z tohoto mi výjde:
$\int \frac{1}{-x}+\int \frac{x}{x^2-4x+8}$

ale nějak nevím co s touto částí:
$\int \frac{x}{x^2-4x+8}$

díky

Freedy · 03. 02. 2014 20:20

$\int \frac{x}{x^2-4x+8}dx$
Když se na to podíváš trošku specificky, můžeš udělat toto:
$\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x-4}{x^2-4x+8}dx+2\int_{}^{}\frac{1}{x^2-4x+8}dx$
To první sem udělal proto, abych v čitateli měl derivaci jmenovatele. Čili první je jednoduchý:
$\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x-4}{x^2-4x+8}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2-4x+8)$

Druhý integrál:
$2\int_{}^{}\frac{1}{x^2-4x+8}dx$
A ten bych asi řešil vzorcem:
$\int_{}^{}\frac{1}{x^2+px+q}dx=\frac{1}{\sqrt{q-(\frac{p}{2})^2}}arcctg\frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{q-(\frac{p}{2})^2}}+c$
čili:
$2\int_{}^{}\frac{1}{x^2-4x+8}dx=arcctg\frac{x-2}{2}+c$
Když to dáš dohromady:
$\int \frac{x}{x^2-4x+8}dx=\frac{1}{2}\ln(x^2-4x+8)+ arcctg\frac{x-2}{2}+c$

Hertas · 03. 02. 2014 20:22

musíš doplnit čitatel tak, aby byl derivací jmenovatele:
$(x^2-4x+8)'=2x-4$
$\int_{}^{}\frac{x}{x^2-4x+8}=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x-4}{x^2-4x+8}+\int_{}^{}\frac{2}{x^2-4x+8}$
teď první integrál už jde snadno substitucí, a ve druhém potřebuješ ve jmenovateli vyrobit čtverec a vyjde z toho arctg něčeho

hutrides · 03. 02. 2014 20:42

no jasně nenapadlo mě dát před integrál 1/2 .. díky vám :)

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2014 20:09

Vypočtěte integrál

#2 03. 02. 2014 20:20

Re: Vypočtěte integrál

#3 03. 02. 2014 20:22

Re: Vypočtěte integrál

#4 03. 02. 2014 20:42

Re: Vypočtěte integrál

Zápatí