Matematické Fórum

:D · 02. 02. 2014 17:37

Ahoj.

Mám tu, pre mňa zaujímavý, problém.
Nech $U\subset M$ . Označme $\mathcal{F}(U)$ všetky reálne funkcie na U a $\mathcal{F}(M)$ všetky funckie na M.
Tvrdím, že ľubovolná funkcia z $\mathcal{F}(U)$ je len zúžením nejak z $\mathcal{F}(M)$ . (1)
Je to pravda?

Je pravda, že ten problém sa dá vysloviť aj takto:
Ľub. fcia z $\mathcal{F}(U)$ sa dá rozšíriť na nejakú z $\mathcal{F}(M)$ . (2)

Platí aspoň niečo z toho? Alebo keď tie funkcie obmedzíme na hladké, analitické ... bude niečo platiť?

Pri istých priestoroch, kde prežije delenie jednotky, by malo byť (2) splnené.
Existuje niečo menej náročné ako delenie jednotky na to, aby som mohol rozširovať funkcie z definičných oborov na väčšie nadmnožiny?

Za akýkoľvek postreh budem vďačný.

Brano · 02. 02. 2014 17:53

(1) ano (2) ano a aj postreh, ze (1) je ekvivalentne s (2) je trivialne pravdivy

To, ze sa da lubovolna funkcia rozsirit na nadmnozinu je uplne trivialne - proste ju vsade kde nie je definovana nejak dodefinujes, napr. ze sa tam bude rovnat nule.

Akonahle sa ale obmedzis napr. na spojite funkcie, tak sa to uz neda. Napr. taka funkcia $f(x)=1/x$ je spojita na $R\setminus\{0\}$ ale neda sa spojite rozsirit na cele $R$ .

Kazdy "typ" funkcii ma svoje specifika a k nim sa viazu aj specificke vety o rozsirovani.

:D · 02. 02. 2014 18:02

Toto bolo príliš jednoduché. Skôr som to myslel na funkcie typu $C^k, k\ge 0$ . Ide mi práve o tie triedy. Ako to tam funguje. Aj analytické, kedy sa dajú rozširovať.

Brano · 02. 02. 2014 23:09

↑ :D:
To je dost obsiahla tema. Taky encyklopedicky clanocek najdes tu:
http://www.encyclopediaofmath.org/index … n_theorems
A dalej mozes skusit vygooglit "extension theorem" a popozerat co ti to ukaze.
Pripad $C^0$ riesi Tietzeho veta.
K analytickym funkciam si precitaj napr. http://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_continuation

:D · 04. 02. 2014 14:56

Vynikajúco. Ďakujem.

:D · 04. 02. 2014 15:12

Ešte ma niečo k tomu napadlo.

Nech $U\subset M$ . Existuje taký priestor M, že $C^0(M)$ zúžené na U nie sú všetky $C^0(U)$ ?
Resp. tú triedu $C^0$ môžeme nahradiť hocijakou inou triedou funkcií.

Brano · 04. 02. 2014 15:22

Ved na to som ti pisal hned prvy priklad: $M=R$ , $U=R\setminus\{0\}$ , $f:U\to R$ je dane $f(x)=1/x$ . Plati $f\in C(U)$ ale neexistuje $g\in C(M)$ take, ze $g_{|U}=f$ .