Matematické Fórum

Suiroza · 04. 02. 2014 13:09

Zdravím, tenhle jsme teď měli v písemce a já popravdě vůbec nevím co s ním i když tak hrozně nevypadá:

Nalezněte charakteristickou funkci náhodné veličiny $x = \sum_{i=1}^{100} x_{i}$ , kde $x_i$ jsou nezávislé náhodné veličiny na intervalu (0,1). Nalezněte střední hodnotu a rozptyl X, pomocí centrální limitní věty odhadněte pravděpodobnost že je tento součet větší než 45 a menší nebo roven 80.

Jj · 04. 02. 2014 18:01

↑ Suiroza:

Dobrý den, řekl bych, že to asi nepůjde spočítat bez znalosti rozložení pravděpodobnosti
náhodných veličin $x_i$ .

Suiroza · 04. 02. 2014 18:17

↑ Jj:

Omlouvám se, vypadl mi kousek zadání.

...kde $x_i$ jsou nezávislé náhodné veličiny rovnoměrné rozdělení na intervalu (0,1)...

Tohle mi tam chybělo, pokud je to postačující.

Jj · 05. 02. 2014 19:31

↑ Suiroza:

Uvedu bez využití charakteristické funkce (zjistil jsem, že už to neumím, snad poradí někdo znalejší).

Takže "klasicky":
Dáno rovnoměrné rozložení náhodné veličiny X na intervalu (0,1).
Frekvenční funkce: $f(x) = 1$ na intervalu (0,1), jinde f(x) = 0
(= 1/(b-a), a = 0, b = 1)
Distribuční funkce: $F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}1\cdot dt=[t]_{0}^{x}=x$
Střední hodnota: $E(x) = \int_{0}^{1}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot 1dx=[x^2/2]_{0}^{1}=\frac{1}{2}$
Rozptyl: $D=E(x^2)-E(x)^2= \int_{0}^{1}x^2\cdot 1dx-\frac{1}{4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

Směrodatná odchylka součtu 100 náhodných veličin s rovnoměrným rozdělením na (0,1):
$E_{100}= 100*E(x) = 50$
Rozptyl součtu 100 nezávislých náhodných veličin s rovnoměrným rozdělením na (0,1):
$D_{100}= 100*D(x) = 8.333$
Směrodatná odchylka $\sigma_{100}=\sqrt{D_{100}}=2.887$

Podle centrální limitní věty možno pro určení pravděpodobnosti součtu těchto 100 nezávislých náhodných veličin užít normální rozdělení pravděpodobnosti N(50, 2.887^2).

Pak
$P(45 < X_{100} <= 80) = F(80)-F(45)=0.958$