Matematické Fórum

johnl · 06. 02. 2014 15:42 — Editoval johnl (06. 02. 2014 15:45)

Zdravím, řeším v elektronice jednu takovou věcičku, počítám pro šířku pásma extrém.

Tedy, mám:
$B_{3} = f_0 \sqrt{n + 4 - \frac{4}{n}}$

A první derivaci mám (derivace je podle n):
$B_{3}' = f_0 (\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}$

Je to správně? :o) Protože když derivaci teď položím nule, vůbec si nevím rady jak postupovat. Podle grafu vím, že extrém by se měl pohybovat někde hódně blízko dvojce, neporadil by mi někdo, jak k tomu dojít?

Sherlock

Ta derivace by měla být provedena takto: $B'_{3}=f_{0}\cdot \frac{1}{2}\cdot ({n+4-\frac{4}{n}})^{-\frac{1}{2}}\cdot (n+4-\frac{4}{n})'$ (derivace složené fce)

Upravit se to pak dá (jestli se nepletu) do tohoto tvaru: $B_{3}'=\frac{f_{0}\cdot (1+\frac{4}{n^{2}})}{2\sqrt{n+4-\frac{4}{n}}}$

Rumburak

↑ johnl:

Ahoj. Pokud jsem správně pochopil situaci, tak hledáme extrém funkce $g(n)= \sqrt{n + 4 - \frac{4}{n}}$ .
Pro zjednodušení situace bych využil skutečnosti, že druhá odmocnina je na svém definičním oboru $\langle 0 , +\infty)$
rostoucí, takže stačí zkoumat pouze funkci $h(n) = n + 4 - \frac{4}{n}$ v rozsahu, kde $h(n) \ge 0$
(tedy na množině $M = \langle -2 - \sqrt{8}, 0) \cup \langle -2 + \sqrt{8}, +\infty)$ , jak mi vyšlo).

Máme $h'(n) = 1 + \frac{4}{n^2} > 0$ , z čehož plyne, že funkce $h$ nemá lokální extrámy.

Minima funkce $h$ vůči množině $M$ jsou v bodech $-2 \pm \sqrt{8}$ , kde fce $h$ nabývá hodnotu 0.
Na každém z obou uvedených intervalů, z nichž se množina $M$ skládá, funkce $h$ roste nade všechny
meze, jak můžeme zjistit výpočtem příslušných limit.

johnl · 06. 02. 2014 17:46

↑ Aktivní:
Díky za pomoc s derivací, zase jsem ji pojal blbým způsobem. :)

↑ Rumburak:
nee, tvůje řešení mi nepomůže, f0 nemůžu jen tak vyhodit pryč.

Po zderivování teď mám:
$\frac{\frac{1}{2\pi RC\sqrt{n}}(1+\frac{4}{n^2})}{2\sqrt{n+4-\frac{4}{n}}} = 0$

A z toho potřebuji vyřešit teď extrém funkce, tedy vyjádřit kořeny n.

Sherlock

Jmenovatel nesmí být roven nule, a běžné lomené výrazy nikdy nula nebudou, takže $\frac{1}{2\sqrt{n+4-\frac{4}{n}}}$ nikdy nula nebude, stejně jako $\frac{1}{2\pi RC\sqrt{n}}$ . Zbývá teda ještě prozkoumat, kdy je výraz $1+\frac{1}{n^{2}}$ nulový, to nechám na tobě :)

johnl · 06. 02. 2014 19:19

↑ Aktivní:
Já už jsem extrém vypočítal, kořeny n jsou +2 a -2, a -2 samozřejmě nemůže být skrz odmocniny, udělal jsem to sice trochu složitěji než jsi popisoval ty - ale výsledku jsem se dohrabal, každopádně Ti děkuji za pomoc s tou derivací. :)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/10749_DSC_0379.JPG

Sherlock

Já jsem ale dospěl k tomu že to kořeny nemá, navíc

máš tam chybu, rovnice $n^{2}+4=0$ nemá v reálných číslech řešení.. když se nad tím tak zamyslíš, $n^{2}$ je vždy kladnej výraz, nejnižší hodnotu kterou může mít je 0. A ještě k němu přičteš čtverku, takže výsledně to nikdy nula nebude..

$n^{2}+4=0$
$n^{2}=-4$

nemůžeš v reálných číslech odmocnit záporný číslo

johnl · 06. 02. 2014 19:33

Ta funkce musí mít extrém při n = 2, viz obrázek grafu, takže teď nevím, jak k tomu dojít. :/

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/11551_Sn%25C3%25ADmek%2Bobrazovky%2Bpo%25C5%2599%25C3%25ADzen%25C3%25BD%2B2014-02-06%2B19%253A31%253A43.png

Sherlock

Čemu je teda rovno to $f_{0}$ ? My jsme je předtím považovali za konstantu, ale jestli je to $f_{0}$ rovno $\frac{1}{2\pi RC\sqrt{n}}$ (což jsi na začátku nějak sakra zapomněl zmínit), bude derivace funkce vypadat úplně jinak... Pak je potřeba to derivovat jako součin funkcí.

johnl · 06. 02. 2014 19:38

Mě učitel řekl, že f0 mám derivovat jako konstantu a poté až dosadit při řešení extrému.

$f_0 = \frac{1}{2\pi RC\sqrt{n}}$

Sherlock

To je blbost, jestliže to obsahuje proměnnou podle který derivuješ tak to žádná konstanta není

Možná je to f0 zadaný ve tvaru $f_{0}=\frac{1}{2\pi RC}$ a potom je tam součin $f_{0}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ , nebo tak nějak podobně. Konstantou je jenom to $\frac{1}{2\pi RC}$

johnl · 06. 02. 2014 19:51

Nee, je to tak jak píšu, takže se nejspíš učitel trochu pomýlil. :o)

$B_3 = \frac{1}{2\pi RC\sqrt{n}} \sqrt{n+4-\frac{4}{n}}$

a jdu zase derivovat. :/

Honzc · 07. 02. 2014 06:23 — Editoval Honzc (07. 02. 2014 06:35)

↑ johnl:
Než začneš derivovat, tak si funkci přepiš na tvar
$B_{3}=\frac{1}{2\pi RC}\sqrt{1+\frac{4}{n}-\frac{4}{n^{2}}}=f_{0}\sqrt{1+\frac{4}{n}-\frac{4}{n^{2}}}$
Potom pro zjištění maxima stačí udělat derivaci funkce $g(n)=1+\frac{4}{n}-\frac{4}{n^{2}}$ a tu položit rovnu nule.