Matematické Fórum

zaba616

Ahoj, nevím jak vypočítat těžnici.

Příklad zní:
je dán trojůhelník ABC:
A [-6,6 ; 1,2]
B [3,4; -5,6]
C [2,8 ; 4,2]
Vypočítejte délky jeho těžnic.

Vypočítala jsem si velikost stran a souřadnice středu.ale nevím jak dál. Prosím, poraďte mi.

Děkuji

EDIT: oprava zadání. janca361

janca361 · 08. 02. 2014 14:22

↑ zaba616:
Těžnice spočítáš jako vzdálenost dvou bodů - středu a protilehlého vrcholu.
$t_a=|S_{BC}A|$

zaba616 · 08. 02. 2014 14:33

$A [-6,6 1,2] B [3,4 -5,6] C [2,8 4,2]$

zaba616 · 08. 02. 2014 14:36

Jak vypočítám S a A?

gadgetka · 08. 02. 2014 14:37

Velikost stran nepotřebuješ. Těžnice je spojnice vrcholu a středu protější strany, čili vypočítej velikosti směrových vektorů jednotlivých těžnic. $(AS_{BC}; BS_{AC}; CS_{AB})$ .

vanok · 08. 02. 2014 14:47 — Editoval vanok (08. 02. 2014 14:49)

BAhoj ↑ zaba616:,
Pre tazisko:najjednoduchsie je spocitat suradnice x, a ich vydelit 3 mi, podobne aj pre y.

janca361 · 08. 02. 2014 14:53

↑ zaba616:
Vždyť sama píšeš:

Vypočítala jsem si velikost stran a souřadnice středu.

Takže středy by si měla být schopná spočítat, dokonce už je máš.
Pro všechny případy:
$S=\frac{A+B}{2}$

A vzdálenost ze dvou bodů zvládneš.

janca361 · 08. 02. 2014 14:55

↑ gadgetka:
Jen otázka, co je toto za zápis?
$(AS_{BC}; BS_{AC}; CS_{AB})$
Jaký vektor to má být? Navíc v prostoru.
Nerozumím tomu, takže se taky ráda něco nového přiučím :)

vanok · 08. 02. 2014 15:15

Mala otazka: preco navrhovat komplikovane vypocty, ked existuju jednoduche a ↑ vanok: velmi zname metody.

gadgetka · 08. 02. 2014 15:25

↑ janca361:
v prostoru? Já vidím dvě souřadnice u každého bodu....

janca361 · 08. 02. 2014 15:29

↑ vanok:
Jen není cílem určit těžiště, ale délku těžnic.

Což si myslím, že je při znalosti vrcholů přes výpočet středu a pak vzálenosti viz ↑ janca361:.

↑ gadgetka:
Já myslím tohle, co si napsala:
$(AS_{BC}; BS_{AC}; CS_{AB})$ - opravdu nechápu, o jaký vektor má jít.

vanok · 08. 02. 2014 15:40

Pozdravujem ↑ janca361:,
Ano, ale ked sa najde rychle taziste T, tak ci z AT,.. Potom sa lahko urci dlzka taznice.
( inac prejst cez stred kazdej strany, je vypoctovo dlhsie)

Tento zapis od kolegine:

$(AS_{BC}; BS_{AC}; CS_{AB})$
Znamena A stred strany BC, atd.

Dalsia otazka: barycetricke vypocty su na programoch strednych skol?

gadgetka · 08. 02. 2014 15:46

Vanku, jsem ráda, že aspoň jeden ze zde přítomných rozumí mému zápisu... :D Děkuji. :)

gadgetka

Tak to shrneme, žabko, aby ses v tom vyznala:
Jednou z variant výpočtu je tato:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/73942_graf_600.png

$t_a:$
$A[-6.6; 1,2]$
$S_{BC}=\frac{B+C}{2}\Rightarrow S_{BC}[3,1; -0,7]$
$\vec{s_{t_a}}=(S_{BC}-A)=(9,7; -1,9)$
$t_a=|AS_{BC}|=|\vec{s_{t_a}}|=\sqrt{9,7^2+(-1,9)^2}\doteq 9,88$

... ostatní těžnice vypočítáš obdobným způsobem

Další varianta:
Vypočítáš souřadnice těžiště:
$T=\frac{A+B+C}{3}\Rightarrow T[-\frac{2}{15}; -\frac{1}{15}]$

Pak vzdálenost těžiště od středu odpovídající strany:
$|TS_{BC}|=\sqrt{$\frac{97}{30}$^2+$-\frac{19}{30}$^2}\doteq 3,29$

Takto vypočítaná vzdálenost je třetinou délky celé těžnice, čili velikost těžnice je rovna:
$t_a=3|TS_{BC}|\doteq 9,88$