Matematické Fórum

iHateMath

Zdravim, mám zadaný integrál

$\int_{}^{}\mathrm{e}^{-x/2} dx$

Wolfram Alpha vraví, že výsledok je $-2 \mathrm{e}^{-x/2} + C$

Mne ale vychádza toto

$\int_{}^{}\mathrm{e}^{\frac{-x}{2}} dx = \mathrm{e}^{\frac{-x}{2}}\cdot \int_{}^{}\frac{-x}{2} = \mathrm{e}^{\frac{-x}{2}}\cdot \frac{-1}{2}\int_{}^{}x$

$= \mathrm{e}^{\frac{-x}{2}}\cdot \frac{-1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\mathrm{e}^{\frac{-x}{2}}\cdot \frac{-1}{4}\cdot x^{2}$

$=-\frac{1}{4}\mathrm{e}^{\frac{-x}{2}}\cdot x^{2} + C =$

Kde robim chybu ?

jarrro · 08. 02. 2014 19:59

prečo by prvá rovnosť podľa teba mala platiť?

iHateMath

Tak bral som to podľa vzorca

$\int_{}^{}e^{x} dx = e^{x} + C$

t.j. funkcia opisana a zintegrovane vnutro, alebo ako to mam nazvat, ale ako tak na to pozeram to plati asi len pri derivacii, nerozumiem ako dostali z tej mocniny $\frac{-x}{2}$ len -2 pred e ?

Raubbbyy

pouzi substituciu $t = \frac{-x}{2}$ $dt = -\frac{1}{2}dx \Rightarrow dx = -2dt = -2\int_{}^{}e^tdt$

Raubbbyy

to co si pouzil ty si pouzil postup pre derivovanie zlozenej funkcie to u integrovania urcite neplati musis sa naucit substitucnu metotu ta sa viaze na derivacie zlozenych funkcii

iHateMath · 08. 02. 2014 21:53

aby som bol presny, toto je len cast z urciteho integralu v tvare

$\int_{0}^{\infty } x^{2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{-x}{2}} dx$

mam to riesit cez PER PARTES, kedze to je sucin dvoch funkcii, alebo prve to treba urobit cez tu substituciu ?

reimu · 09. 02. 2014 12:15

↑ iHateMath:
Napřed bych dvakrát provedl per partes a potom substituci pro výpočet $\int e^{-\tfrac x2} \;dx$ .

PanTau · 09. 02. 2014 12:23 — Editoval PanTau (09. 02. 2014 12:33)

↑ iHateMath:
Zdravím, jednoznačně bych jel perpartes, ale znáš to, všechno má mnoho způsobů řešení(já jich moc neznám :-))

$\int_{}^{} x^{2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{-x}{2}} dx$

$\text{Per partes tabulka}$
$\text{Derivace}\\ \\x^{2}\\2x\\2\\0$ $\text{Integrace}\\{e}^{\frac{-x}{2}}\\-2{e}^{\frac{-x}{2}}\\4{e}^{\frac{-x}{2}}\\-8{e}^{\frac{-x}{2}}$

$\int_{}^{} x^{2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{-x}{2}} dx$ $=x^{2}(-2{e}^{\frac{-x}{2}}) - 2x(4{e}^{\frac{-x}{2}})+2(-8{e}^{\frac{-x}{2}})-\int_{}^{}0(-8{e}^{\frac{-x}{2}})$

To je : $=x^{2}(-2{e}^{\frac{-x}{2}}) - 2x(4{e}^{\frac{-x}{2}})+2(-8{e}^{\frac{-x}{2}}) + C$

Dále bys věděl jak pokračovat? Kdyby ne, tak tady je pokračování: