Matematické Fórum

Pepi13 · 09. 02. 2014 19:59

Ahoj všem,

potřeboval bych poradit. Mám dokázat existenci limity posloupnosti podle definice. Ale u těchto si nejsem jistý, jak definici aplikovat. Budu vděčný za jakékoliv postrčení.

Zda jsou odkazy pro W|A, pokud to pomůže.

Code:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%28n-%3Einfinity%29+%281%2B1%2Fn%29%5E%28k+n%29

Code:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%28n-%3Einfinity%29+%281%2Bk%2Fn%29%5En

Rumburak

↑ Pepi13:

Ahoj.

Máme-li "z definice" dokázat rovnost L(k) = P(k) , znamená to využít definic symbolů L(k) , P(k).
V našem případě symbol L(k) na levé straně představuje limitu posloupnosti, s jejíž definicí není problém, protože
ji lze podat prakticky jediným způsobem, který je relativně známý.
Avšak exponenciální funkci v roli symbolu P(k) lze definovat několika formálně zcela rozličnými (i když ekvivalentními)
způsoby a proto je potřeba vědět, který z nich se má použít. Čili: Jak jste si definovali $\mathrm{e}^k$ ?

Pepi13 · 10. 02. 2014 16:43 — Editoval Pepi13 (10. 02. 2014 16:46)

↑ Rumburak:
Nejsem si jistý, jak to myslíš. $\mathrm{e}^k$ jsme si nijak nedefinovali. Cílem cvičení je aplikovat větu definice limity...

V předchozích příkladech jsem to dokazoval tak, že jsem našel $n_{0}$ , od kterého platilo, že $|a_{n} - a| < \varepsilon$ (a je hodnota limity), tak, že jsem vyjádřil $\varepsilon$ pomocí $n_{0}$

Ale v tomto případě nevím, jak to rozložit.

Rumburak

↑ Pepi13:

O.K. Ale k tomu, abys mohl takto pracovat s výrazem např. $|a_{n} - a| = \left|$1 + \frac{k}{n}$^n - \mathrm{e}^k \right|$ ,
potřebuješ vědět něco o $\mathrm{e}^k$ .

Někdy bývá $\mathrm{e}^k$ definováno jako $\lim_{n\to \infty}$1 + \frac{k}{n}$^n$ a pak by zde nebylo co dokazovat, takže
asi se má vyjít z jiné definice.

Pokud, jak píšeš, jste si $\mathrm{e}^k$ skutečně nedefinovali, pak možná cílem této úlohy je, aby si studenti
uvědomili nutnost nějakou definici zavést.

Pepi13 · 10. 02. 2014 20:49

↑ Rumburak:
aha... ale jakou?

Rumburak · 11. 02. 2014 09:44

↑ Pepi13:
Možná že jste si definovali pouze číslo $\mathrm{e}$ a v dokazované větě se předpokládá, že např. $k$ je číslo přirozené
(resp. celé nebo racionální). Projdi si probranou látku a najdi všechno, co tam je o $\mathrm{e}$ nebo $\mathrm{e}^k$ .

Pepi13 · 12. 02. 2014 21:56

↑ Rumburak:

ať hledám, jak hledám, nikde jsme si $e^{k}$ ani $e$ nedefinovali. asi se předpokládá nějakej základ ze střední školy...

tebe nenapadá, jak by to mohlo vypadat?

gadgetka · 12. 02. 2014 22:10

Zdravím, podobný důkaz je tady

Rumburak

↑ Pepi13:

Jednou z možností, jak definovat číslo $\mathrm{e}$ , je rovností

(1) $\mathrm{e} =\lim_{n\to \infty}$1 + \frac{1}{n}$^n$ ,

ale není to jediná možnost. Matematická teorie je jakýsi (pro někoho možná spletitý) řetěz definic a vět, přístupy různých
budovatelů teorií (autorů učebnic i učitelů) se často liší. Někdo může vzít za definici formuli (1) a později dokázat jako větu
formuli

(2) $\mathrm{e} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ ,

jiný může jít opačnou cestou, čímž možnosti nejsou vyčerpány (doplním odkaz).

Slíbený odkaz .

Matematické Fórum

#1 09. 02. 2014 19:59

Důkaz limity podle definice

Code:

Code:

#2 10. 02. 2014 09:52 — Editoval Rumburak (10. 02. 2014 10:00)

Re: Důkaz limity podle definice

#3 10. 02. 2014 16:43 — Editoval Pepi13 (10. 02. 2014 16:46)

Re: Důkaz limity podle definice

#4 10. 02. 2014 17:02 — Editoval Rumburak (10. 02. 2014 17:19)

Re: Důkaz limity podle definice

#5 10. 02. 2014 20:49

Re: Důkaz limity podle definice

#6 11. 02. 2014 09:44

Re: Důkaz limity podle definice

#7 12. 02. 2014 21:56

Re: Důkaz limity podle definice

#8 12. 02. 2014 22:10

Re: Důkaz limity podle definice

#9 13. 02. 2014 11:05 — Editoval Rumburak (13. 02. 2014 11:10)

Re: Důkaz limity podle definice

Zápatí