Matematické Fórum

Frankie33 · 09. 02. 2014 23:19

Dobry den,

mam tu jeden priklad a nejsem si zcela jisty, jestli na nej jdu spravne

Integral (sin^4)*(cos^3)*dx

Napadlo me rozlozit si ten cos a pak si rozlozit i ten sin na (sin^2)^2 a tim padem budu mit same cosiny a muzu to hodit do substituce a uz jen dosadit. Postupuju spravne? Vysledky bohuzel neznam, ale podle wolframu je to jinak

Frankie33 · 09. 02. 2014 23:50

Uz to mam :) Ale mam tu zas jiny --> Int sin^2 * cos^2*dx - nevite?

Bati · 10. 02. 2014 00:11

↑ Frankie33:
Ahoj,
použij $2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}$ .

Frankie33 · 10. 02. 2014 00:36

Mohl poprosit, jestli bys to mohl tady uvezt cele?

gadgetka

$\int{\sin^2x\cos^2x}\enspace dx=\int{\frac{1-\cos{2x}}{2}\cdot \frac{1+\cos{2x}}{2}}\enspace dx=\frac 14\int{1-\cos^2{2x}}\enspace dx=\frac 14\int{1-\frac{1+\cos{4x}}{2}}\enspace dx=$
$=\frac 18$x-\frac{\sin{4x}}{4}$+c$

$\sin^2x=\frac{1-\cos{2x}}{2}$
$\cos^2x=\frac{1+\cos{2x}}{2}$

Freedy · 10. 02. 2014 00:52

$\int_{}^{}\sin ^2x\cos ^2xdx=\frac{1}{4}\int_{}^{}\sin ^22xdx$
substituce
2x = t
dx = dt/2
$\frac{1}{8}\int_{}^{}\sin ^2tdt$
$\frac{1}{8}\int_{}^{}(1-\cos ^2t)dt$
$\frac{1}{8}\int_{}^{}(1-\cos ^2t)dt=\frac{1}{16}\int_{}^{}(1-\cos 2t)dt$
$\frac{1}{16}\int_{}^{}1-\frac{1}{16}\int_{}^{}\cos 2tdt$
substituce 2t = u
$\frac{x}{8}-\frac{1}{32}\int_{}^{}\cos udu$
$\frac{x}{8}-\frac{1}{32}\sin u$
a zpátky substituce:
$\frac{x}{8}-\frac{1}{32}\sin 2t$
a ještě jednou:
$\frac{x}{8}-\frac{1}{32}\sin 4x +c$