Matematické Fórum

RadekF · 09. 02. 2014 22:33

Zdravím, potřeboval bych menší pomoc s tímto příkladem :

Určete rovnici tečny v daném bodě kružnice : k: $[x-2]^{2}+[y-3]^{2}=25$

$T=[-1;y_{T}<0]$
Znám rovnici $(x_{T}-s_{1})(x-s_{1})+(y_{T}-s_{2})(y-s_{2})=r^{2}$
do které dosadím $s_{1}=2;s_{2}=3$ a $x_{t}=-1$ ale nevím co s tím $y_{T}$ ? Mohl bych napsat jakékoliv číslo menší než 0 ?.

Díky za pomoc.

marnes · 09. 02. 2014 23:20 — Editoval marnes (09. 02. 2014 23:21)

↑ RadekF:
Dosaď do rovnice kružnice x-ovou souřadnici bodu T. Budeš mít kvadratickou rovnici pro neznámou y a tu vyřeš. Z daného řešení vyber to, které je menší jak nula. A proč?
Když si načrtneš kružnici a přímku x=-1, tak zjistíš, že kružnici protíná ve dvou bodech. Oba mají x-ovou souřadnici -1 a tu y-ovou jsi právě dopočítal.

RadekF · 10. 02. 2014 07:25

Díky , dělal jsem to tak jak říkáš že jsem dosadil xT do rovnice kružnice , ale nevyšlo mi to .
yT mi vyšlo $\Rightarrow y_{T}=\frac{6-2*\sqrt{8}}{2}$

výsledek by měl vyjít $t: 4x-3y+1=0$ ale mě to nevyšlo v celých číslech.

zdenek1 · 10. 02. 2014 07:48

↑ RadekF:
protože $y_T=7$

Cheop · 10. 02. 2014 07:53 — Editoval Cheop (10. 02. 2014 09:48)

↑ RadekF:
Ten výsledek, který uvadíš není dobře.
Rovnice tečny by měla být:
$t:\,3x+4y+7=0$
Výpočet:
a) x-ovou souřadici tečného bodu dosadíme do rovnice kružnice a dostaneme:
$(-1-2)^2+(y-3)^2=25\\9+(y-3)^2=25\\(y-3)^2=16\\(y-3)=\pm 4\\y_1=7\\y_2=-1$
My ze zadání vybereme y-ovou souřadnici <0 tj.
Tečný bod
$T=(-1;\,-1)$
A teď dosadíme do rovnice pro tečnu a dostaneme:
$(-1-2)(x-2)+(-1-3)(y-3)=25\\-3x+6-4y+12=25\\-3x-4y-7=0\\3x+4y+7=0$
A toto je řešením úlohy.

PS: Rovnice $4x-3y+1=0$ je rovnicí poláry procházející tečným bodem $T=(-1;\,-1)$