Matematické Fórum

Meglun · 10. 02. 2014 20:00

Ahoj, mám dokázat z definice, že determinant trojúhelníkové matice je roven součinu čísel na diagonále.

Vím, že se determinant rovná součinu prvků na diagonále, tzn. $a_{11} a_{22}...a_{nn}$ , kde $n\in N$ , přičemž v ostatních násobcích se vyskytuje alespoň jedna nula a proto se rovnají nule. Bohužel nevím jak to zformulovat.

Rumburak

↑ Meglun:
Ahoj.

Je-li $A = (a_{i,j})$ číselná matice typu $(n, n)$ , pak její determinant je definován vzorcem

$\det A := \sum_{f\in P(n)}\text{sgn}(f)\prod_{i=1}^n a_{i, f(i)}$ ,

v němž $P(n)$ je grupa všech permutací množiny $\{1, 2, ... , n\}$ a $\text{sgn}(f)$ znaménko permutace $f$ .

Snaž se dokázat, že pokud $f \in P(n)$ není identickou permutací (splňující $f(i) = i$ pro každé $i=1, 2, ..., n$ ) ,
potom v součinu $\prod_{i=1}^n a_{i, f(i)}$ existuje činitel $a_{i, f(i)}$ ležící pod hlavní diagonálou matice $A$ .