Matematické Fórum

Xantippa · 11. 02. 2014 20:14

Zdravím,
při řešení úlohy jsem se zasekla a nevím, jak dál. Chtěla bych vás tímto požádat o radu. Zadání úlohy zní:
Určete výšku budovy, která se jeví ze vzdálenosti m=299m v úhlu $\alpha$ a ze vzdálenosti n=97m v úhlu trojnásobném.

Výšku budovy jsem si označila jako x a řekla jsem si:
$\text{tg}\alpha=\frac{x}{299}$ a $\text{tg}3\alpha=\frac{x}{97}$
V obou rovnicích jsem si "dala na levou stranu" x a dostala jsem:
$x=299*\text{tg}\alpha$ a z druhé $x=97*\text{tg}3\alpha$
Dál už jsem se neposunula ani o píď a ani nevím, jestli můj dosavadní postup byl správný.

Předem děkuji,
Xantippa.

gadgetka

Mám pocit, že ta výška budovy bude výškou trojúhelníku, udělala sis špatný náčrtek. :)

Xantippa · 11. 02. 2014 21:05

↑ gadgetka:
Vzhledem k tomu, že se jedná o pravoúhlý trojúhelník, si za svým náčrtkem stojím a jsem si téměř jistá jeho správností.

gadgetka · 11. 02. 2014 21:10

Pokud by to bylo tak, jak jsi to ty načrtla, tak ten úhel alfa musí být menší než 30°. Možná, že i v této úvaze bude cesta k řešení úlohy.

Xantippa · 11. 02. 2014 21:18

↑ gadgetka:
Dle výsledků je výška budovy 29,9m, z čehož plyne, že máš pravdu, $\alpha$ vychází okolo $5,7^\circ$ (nenašla jsem, jak se zapisují minuty, proto ten neohrabaný výsledek). Trápila jsem se s tím celé odpoledne a ani když znám výslednou hodnotu, nedokážu udělat "zpětný chod". Chtěla bych tedy požádat o kompletní řešení.

Jj · 11. 02. 2014 21:22

↑ Xantippa:

Dobrý večer, řekl bych, že to půjde i bez zpětného chodu. Z rovnosti x sestavit rovnici:

$299\cdot \text{tg}\alpha =97\cdot \text{tg}3\alpha$ a dosadit $\text{tg}3\alpha = \frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}$

$299\cdot \text{tg}\alpha -97 \cdot \frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}=0$
$tg\alpha$299 -97 \cdot \frac{3 - tg^2\alpha}{1-3tg^2\alpha}$=0$

Což vede na řešení
tg(alfa) = 0

a dále ke kvadratické rovnici pro neznámou tg(alfa) s kořeny:

tg(alfa) = 0.1
tg(alfa) = -0.1

Vyhovovat může jen kořen $tg(\alpha) = 0.1 \rightarrow \alpha = 5.71°, 3\alpha=17.13°$

Problém asi bude se vzorcem pro tg(3alfa) - nepočítal jsem ho (našel jsem ho).

Xantippa

↑ Jj:
Velmi Vám děkuji, výsledek odpovídá výsledku v učebnici.

S pozdravem,
Xantippa.

gadgetka · 11. 02. 2014 21:32

Možná v tom bude i nějaká podobnost trojúhelníků, či vlastnosti úhlů, když máme dvě rovnoběžky proťaté příčkou..., možná se jeden trojúhelník počítá přes goniometrii ostrých úhlů a ten druhý přes sinovou či kosinovou větu... jen uvažuji, že by jiné řešení bylo lepší než ten vzorec... ;)

gadgetka

A co kdyby se vypočítala jen třetina výšky budovy? ;)

Edit: blbost... nemůžu vědět, že to bude třetina... navíc podle výsledků je koeficient podobnosti mezi dvěma trojúhelníky (při stejném úhlu alfa) 10.

A na to by se možná mělo nějak přijít... :D Už toho nechám a uvolním pole zdatnějším... ;)

Cheop · 12. 02. 2014 09:54 — Editoval Cheop (12. 02. 2014 14:47)

↑ Jj:
I když je vyřešeno tak:
Pokud použijeme vzorce pro:
$\sin(3\alpha)=\sin(\alpha+2\alpha)\\\cos(3\alpha)=\cos(\alpha+2\alpha)$
Tak po několika úpravách dospějeme k rovnici:
$\frac{4\cos^2\alpha-1}{4\cos^2\alpha-3}=\frac{299}{97}$ - úpravou:
$\cos^2\alpha=\frac{100}{101}\\\alpha=\arccos\left(\frac{10}{\sqrt{101}}\right)\,\doteq\,5,71059^\circ$

PS: Jen tak mimo soutěž: Výška věže je $29,9\enspace\rm{m}$

Edit: Tak když máme počítat výšku věže:
$v=299\enspace\rm{tg}\,\alpha$
Víme, že:
$\cos\,\alpha=\frac{10}{\sqrt{101}}\,\Rightarrow\\\sin\,\alpha=\frac{1}{\sqrt{101}}\,\Rightarrow\\\rm{tg}\,\alpha=\frac{1}{10}$
Výška věže:
$v=299\enspace\rm{tg}\,\alpha\\v=\frac{299}{10}=29,9\enspace\rm{m}$

Honzc · 12. 02. 2014 14:10

↑ Xantippa:
Ještě něco pro vzdělání, i když je úloha již vyřešená.
Ovšem proč počítat úhly, když máme vypočítat výšku.
Tedy použijeme vzoreček od ↑ Jj:
$\text{tg}3\alpha = \frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}$
a s několika podobnými kroky jako to počítal kolega dojdeme k výsledku
$v=299\sqrt{\frac{299-3\cdot 97}{3\cdot 299-97}}=299\sqrt{\frac{8}{800}}=\frac{299}{10}=29.9\,m$

Xantippa

↑ Honzc:
Vaše řešení mě zaujalo, a tak bych vás chtěla požádat, abyste mi objasnil, jak jste dospěl k výrazu
$v=299\cdot \sqrt{\frac{299-3\cdot 97}{3\cdot 299-97}}$

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2014 20:14

Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

#2 11. 02. 2014 21:00 — Editoval gadgetka (11. 02. 2014 21:13)

Re: Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

#3 11. 02. 2014 21:05

Re: Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

#4 11. 02. 2014 21:10

Re: Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

#5 11. 02. 2014 21:18

Re: Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

#6 11. 02. 2014 21:22

Re: Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

#7 11. 02. 2014 21:31 — Editoval Xantippa (11. 02. 2014 22:29)

Re: Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

#8 11. 02. 2014 21:32

Re: Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

#9 11. 02. 2014 22:01 — Editoval gadgetka (11. 02. 2014 22:22)

Re: Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

#10 12. 02. 2014 09:54 — Editoval Cheop (12. 02. 2014 14:47)

Re: Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

#11 12. 02. 2014 14:10

Re: Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

#12 12. 02. 2014 21:00 — Editoval Xantippa (12. 02. 2014 21:01)

Re: Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

Zápatí