Matematické Fórum

Jozef3 · 12. 02. 2014 12:24

Ahoj,
rád bych se zeptal, kolik je $\sum_{i=0}^{n}\ln( Binomial(n,i))$ , kde výrazem Binomial(n,i) značím kombinační číslo "n nad i". Vím, že $\sum_{i=0}^{n}( Binomial(n,i))=2^{n}$ , ale ten logaritmus tam dělá velkou neplechu .
Kdyby to někoho zajímalo, zajímá mě to proto, že chci určit entropii binomického rozdělení s danou střední hodnotou a tato suma je součástí výpočtu.

Brano · 12. 02. 2014 13:36

Ked to das do Wolframu, tak ti nic nepovie a ten pozna vseliake divne funkcie, takze asi nejaka uzavreta formula pre to nebude.

Pre male $n$ sa s tym nemusis trapit, lebo ti to pocitac nascita dost rychlo - teda to mozes nechat vo forme sumy - resp si ju mozes aj nejak zabavne pomenovat napr. $\phi(n)$ .

Pre velke $n$ mozes pouzit to, ze $\ln {n \choose k}=\ln(n!)-\ln(k!)-\ln((n-k)!)$ a ze hlavny prispevok k tej sume bude od clenov kde je aj $n$ aj $k$ aj $n-k$ velke teda mozes pouzit Stirlingovu aproximaciu.

Mne vyslo, ze potom $\phi(n)=\frac{n^2}{2}+O(n\ln n)$ .

Jozef3 · 12. 02. 2014 14:57

↑ Brano:
Ano, asi nic lepšího než aproximaci pro velká n nevymyslíme.
Nechám však téma otevřené, kdyby se to přeci jen někomu povedlo.

Marian · 12. 02. 2014 16:17

↑ Jozef3:

Bylo by možno celou věc zapsat s využitím vztahu $\sum\ln =\ln\prod$ a vyčíslit součin binomických koeficientů (ten by se potažmo logaritmoval). Zajímavé by potom mohlo také být prostudování referencí na odkazu OEIS zde, které říkají něco o tomto součinu.

Matematické Fórum

#1 12. 02. 2014 12:24

Součet konečné sumy

#2 12. 02. 2014 13:36

Re: Součet konečné sumy

#3 12. 02. 2014 14:57

Re: Součet konečné sumy

#4 12. 02. 2014 16:17

Re: Součet konečné sumy

Zápatí