Matematické Fórum

Rozulinka · 01. 02. 2009 13:25

Ahoj, potřebovala bych pomoci s touto úlohou:

Napište rovnici té tečny ke grafu funkce $y=x^3+3x^2 -5$ , která je rovnoběžná s přímkou o rovnici $2x-6y+1=0$ .

Výsledek by měl být $3x+y+6=0$ .

plisna · 01. 02. 2009 15:04

zhruba receno: vime smernici tecny diky zadane primce, se kterou ma byt hledana tecna rovnobezna - staci jeji obecnou rovnici upravit na smernicovy tvar. dale take vime, ze derivace funkce je z geometrickeho pohledu smernice tecny v danem bode - a to je presne to, co vyuzijeme. spocitej tedy derivaci zadane funkce a poloz ji do rovnosti se smernici hledane tecny. vznikne kvadraticka rovnice, jejiz resenim jsou body dotyku tecny se zadanou kubickou parabolou. nyni uz by nemel byt problem dopocitat hledanou rovnici tecny. pokud neni neco jasne, klidne se ptej.

Rozulinka

↑ plisna:

Takže derivace mi vyšla $y=3x^2 +6x$ a to položím $2x-6y+1=0$ ? Nebo nějakému jinému vzorci?

halogan · 01. 02. 2009 16:12

Naše hledaná tečna bude mít rovnici $2x - 6y + c = 0$ , protože má stejnou směrnici (je rovnoběžná), jen má jiný posun. Z této rovnice si vyjádři y, abys získala její směrnici.

$6y = 2x + 1 \nl y = \frac{2x + 1}{6} \nl k = \frac{1}{3}$

Teďka polož první derivaci rovnu nalezenému k (směrnici). Vyjde ti $x_0$ , ve kterém bude tato tečna. Dopočítej si $y_0$ . Tento bod pak dosaď do té obecné rovnice ( $2x - 6y + c = 0$ ), spočítej c a máš hotovo.

Rozulinka · 01. 02. 2009 16:56

↑ halogan:

Můžu se zeptat, jak jsi z $y = \frac{2x + 1}{6}$ udělal $k = \frac{1}{3}$ ?
A tu derivaci $y=3x^2 +6x$ položím $k = \frac{1}{3}$ , ale nevím, jak to dál upavit aby mi vyšlo normálně to $x_0$ .

halogan · 01. 02. 2009 16:59

↑ Rozulinka:

$y = \frac{2x+1}{6} = \frac{2x}{6} + {1}{6} \nl \textrm{a rovnice ma obecny tvar y = kx + q, kde k je smernice} \nl k = \frac{1}{3}$

A jelikož derivace ti vyplodí "funkci směrnic", tak ty položíš první derivaci rovnu 1/3. Z toho ti vypadne x_0, ve kterém bude daná tečna mít směrnici 1/3.

Rozulinka · 01. 02. 2009 17:10

↑ halogan:

Tak tu směrnici už chápu, ale pořád mi nějak nevýchází to $x_0$ .

halogan · 01. 02. 2009 17:13

Vychází mi to nějak divně. Dostal jsem se k $9x^2 + 18x - 1 = 0$ . Diskriminant je jen o jednotku pod druhou mocninou 19 :) Holt to asi nevyjde pěkně.

Rozulinka · 01. 02. 2009 17:23

Tak diskriminant mi vyšel $\sqrt{360}$ a po zaokrouhlení $x_1= -2,06$ , $x_2=0,06$
Není to nějak divný, když ta rovnice má vyjít docela hezky $3x+y+6=0$ ?

halogan · 01. 02. 2009 17:25

↑ Rozulinka:

Tak to vyjít nemůže. Ty dvě přímky nejsou rovnoběžné, protože mají různé směrnice.

Rozulinka · 01. 02. 2009 17:30

↑ halogan:

Myslíš tu rovnici $3x+y+6=0$ ? tenhle výsledek mám tady ve skriptech. A ty x jsou dobře? ale to by mělo vyjít jenom jedno, ne?

Já to vůbec nechápu, už skoro týden ležím v matice a asi za chvíli z toho zešílím.

halogan

↑ Rozulinka:

Nechci tě nějak mystifikovat... máš to určitě dobře opsané?

Protože když si představíš $y = {2x+1}{6}$ a $y = -3x - 6$ tak vidíš, že tyhle dvě rovnoběžné nebudou.

Nemá být kolmá? To by pak odpovídalo.

Rozulinka · 01. 02. 2009 17:44

↑ halogan:

To si neumím představit :-), ale fakt to mám dobře opsaný, je tady rovnoběžná, tak se možná učitel někde spletl.

Mám tu ještě jeden příklad, kde je graf fce $y=arccos (1-2x)$ a rovnoběžná přímka o rovnici $2x-y=4$ . Tak to zkusím spočítat podle toho návodu a třeba tohle výjde.

Matematické Fórum

#1 01. 02. 2009 13:25

Rovnice tečny

#2 01. 02. 2009 15:04

Re: Rovnice tečny

#3 01. 02. 2009 15:29 — Editoval Rozulinka (01. 02. 2009 15:30)

Re: Rovnice tečny

#4 01. 02. 2009 16:12

Re: Rovnice tečny

#5 01. 02. 2009 16:56

Re: Rovnice tečny

#6 01. 02. 2009 16:59

Re: Rovnice tečny

#7 01. 02. 2009 17:10

Re: Rovnice tečny

#8 01. 02. 2009 17:13

Re: Rovnice tečny

#9 01. 02. 2009 17:23

Re: Rovnice tečny

#10 01. 02. 2009 17:25

Re: Rovnice tečny

#11 01. 02. 2009 17:30

Re: Rovnice tečny

#12 01. 02. 2009 17:34 — Editoval halogan (01. 02. 2009 17:34)

Re: Rovnice tečny

#13 01. 02. 2009 17:44

Re: Rovnice tečny

Zápatí