Matematické Fórum

jaja0001 · 06. 02. 2014 21:17

Ahoj,
prosím o radu kde jsem při výpočtu udělala chybu.
V zadání bylo určit souřadnice středu kruhového otvoru o poloměru r vyříznutého do obdélníkové desky s rozměry a*b, aby těžiště desky mělo souřadnice $T=[\frac{2}{3}a,\frac{2}{3}b]$ .

Určila jsem si $S_1=a \cdot b$ obdélník a $S_2=\pi \cdot r^2$ kruh (vyříznutý).
Těžiště plné desky má souřadnice $T_1=[\frac{a}{2},\frac{b}{2}]$ , těžiště kruhu má souřadnice $T_2=[x,y]$ , které mám určit.

Použila jsem vzoreček $x_T=\frac{\sum S_i \cdot x_T_i}{\sum S_i}$ . Protože kruh je vyříznutý, odečítám ho: $x_T=\frac{S_1 \cdot x_{T1} - S_2 \cdot x_{T2}}{S_1-S_2}$ . Když ale do vzorečku dosadím, co znám a vyjádřím si x, vyjde mi výsledek záporně. Je chyba už v tomhle vztahu nebo až v následujících úpravách?

$\frac{2}{3}a=\frac{a \cdot b \cdot a/2 - \pi \cdot r^2 \cdot x}{a \cdot b - \pi \cdot r^2}$
$\frac{2}{3}a(a \cdot b - \pi \cdot r^2)=\frac{1}{2}a^2 \cdot b - \pi \cdot r^2 \cdot x$
$x=\frac{a^2 \cdot b}{2 \cdot \pi \cdot r^2}-\frac{2 \cdot a (a \cdot b -\pi \cdot r^2)}{3 \cdot \pi \cdot r^2}$ .

Když si ale dosadím nějaké testovací hodnoty, třeba a=15, b=10, r=2, vyjde mi x=-19.85...

Předem děkuji za pomoc.
Jana

palast · 06. 02. 2014 23:45 — Editoval palast (06. 02. 2014 23:58)

Tam je špatná úvaha, že když je kruh vyříznutý, odečtu ho. Proč? Ten vzorec se používá na výpočet výsledného těžiště těles z jejich jednotlivých těžišť. Máš desku s otvorem a vyříznutý kruh, který do toho otvoru pasuje. A výsledné těžiště těchto dvou těles je střed obdélníku. Takže máš vztah, který ti říká, jak vypočteš těžiště obdélníku z těžiště obdélníku s otvorem a těžiště kruhu, který do toho otvoru pasuje. Když si pak z toho vyjádříš polohu těžiště kruhu, tak zjistíš, že ten vztah je jiný, než jaký jsi si tam napsala vedle.

Taky se na to dá použít jedna z Pappových vět.

Honzc · 07. 02. 2014 14:03 — Editoval Honzc (08. 02. 2014 07:13)

↑ jaja0001:
Úvaha se mi zdá správná a i výpočet je dobře.
S trochou úprav dostaneme
$x_{Tk}=a(\frac{2}{3}-\frac{ab}{6\pi r^{2}})$
$y_{Tk}=b(\frac{2}{3}-\frac{ab}{6\pi r^{2}})$
Když budeme předpokládat, že $a\ge b>0$ (a to můžeme aniž by se na výsledku něco změnilo),
pak samozřejmě platí pro poměr $k=\frac{r}{b}$ nějaké omezující podmínky.
Ty není zas až tak lehké stanovit.
Ty podmínky jsou $(\frac{2}{3}-\frac{ab}{6\pi r^{2}})\ge \frac{r}{b}\wedge(\frac{2}{3}-\frac{ab}{6\pi r^{2}})\ge 1-\frac{r}{b}$
Po úpravě a zavedení koeficientu $m=\frac{a}{b}\ge 1$ dostaneme nerovnice
$k^{3}-\frac{2}{3}k^{2}+\frac{m}{6\pi }\le 0\wedge k^{3}-\frac{1}{3}k^{2}-\frac{m}{6\pi }\le 0$
První nerovnice (pro $m\ge 1$ ) ovšem nemá pro $k\in (0,1)$ žádná reálná řešení.
a tedy podle mě je úloha špatně zadaná.
Odvodit podmínky pro různá a,b a polohy výsledného těžiště nebude nic jednoduchého, nicméně omezíme-li se na čtvercovou desku pak řešení budou pro $x_{T},y_{T}\in \langle\frac{2a}{5},\frac{3a}{5}\rangle$ a $k=\frac{r}{a}=\frac{2}{5}$