Matematické Fórum

Fukin5555 · 13. 02. 2014 13:59

Dobrý den ,

v rovině je dána křivka {K= (3t-sin 3t, cos 3t ) t je z R}
najděte rovnici oskulační kružnice křivky k v bodě t= pí/3

můžete mi prosím alespoň nastínit postup ?

Bati · 13. 02. 2014 14:14

↑ Fukin5555:
Ahoj,
z křivosti křivky v zadaném bodě určíš poloměr osk. kružnice. Aby se tato kružnice křivky dotýkala, musí navíc její střed ležet na kolmici k tečně křivky v daném bodě. Tím už je osk. kružnice jednoznačně určena.

Fukin5555

takže to {K= (3t-sin 3t, cos 3t ) dvakrát zderyvuju pak to dám do vzorce :

K = /X´x X´´/ : odmocnina /X´.X´/ ^3

A pak dám 1/k a mám poloměr ?

Bati · 13. 02. 2014 14:34

↑ Fukin5555:$
Jo.

Fukin5555 · 13. 02. 2014 14:37

↑ Bati:

a neměl bych mít zadaný tři ty souřadnice ? nebo ta tření je 0 když tam mám jen dvě ?

Bati · 13. 02. 2014 14:41

↑ Fukin5555:
Můžeš si to tak představit. Jediný místo, kde se to projeví je v tom vektorovým součinu.

Někdy se speciálně pro rovinné křivky definuje znaménková křivost, ale v tomhle příkladu je to jedno.

Fukin5555 · 13. 02. 2014 15:05

↑ Bati:

a když spočítám ten poloměr té křivosti tak pak postupuji jak ?

Honzc · 13. 02. 2014 15:10 — Editoval Honzc (13. 02. 2014 15:31)

↑ Fukin5555:
Platí:
$r_{1}=\frac{(\dot x^{2}(t_{0})+\dot y^{2}(t_{0}))^{\frac{3}{2}}}{|\dot x(t_{0})\ddot y(t_{0})-\ddot x(t_{0})\dot y(t_{0})|}$
$m=x(t_{0})-\dot y(t_{0}) \frac{\dot x^{2}(t_{0})+\dot y^{2}(t_{0})}{\dot x(t_{0})\ddot y(t_{0})-\ddot x(t_{0})\dot y(t_{0})}$
$n=y(t_{0})+\dot x(t_{0}) \frac{\dot x^{2}(t_{0})+\dot y^{2}(t_{0})}{\dot x(t_{0})\ddot y(t_{0})-\ddot x(t_{0})\dot y(t_{0})}$

Fukin5555 · 13. 02. 2014 15:19

↑ Honzc:

to n je normálový vektor ?

Honzc · 13. 02. 2014 15:29 — Editoval Honzc (13. 02. 2014 15:32)

↑ Fukin5555:
ne to m,n jsou x-ová a y-ová souřadnice středu té oskulační kružnice a r1 je její poloměr
Ještě malá oprava:
ve vztahu pro n má být plus (opravil jsem)

Fukin5555 · 13. 02. 2014 15:32

↑ Honzc:

to r jsem spočítal z křivosti a vyšlo mi to 4 .

Fukin5555 · 13. 02. 2014 15:35

↑ Honzc:

ty tečky jsou derivace ?

Honzc · 13. 02. 2014 15:44

↑ Fukin5555:
Poloměr ti vyšel dobře a ty tečky jsou první a dvě tečky druhá derivace x(t),y(t) podle t.
t0 je to tvoje Pi/3
Jinak jestli jsi už spočítal poloměr křivosti (oskulační kružnice) pak souřadnice středu už je jednoduché spočítat úvahou.
Spočítáš jaký bod odpovídá parametru Pi/3 (Pi,-1) a protože v tom bodě je i lokální minimum křivky, pak souřadnice středu oskulační kružnice budou.
m=Pi, n=-1+4=3 (ale ono to už není o moc víc počítání)

Fukin5555 · 13. 02. 2014 15:58

↑ Honzc:
a ta rovnice nakonec bude vypadat jak ?

Fukin5555

↑ Honzc:

(x-pí)^2 + (y-3)ˇ2 = 16 ??

Fukin5555 · 13. 02. 2014 23:39

kluci diky moc za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 13. 02. 2014 13:59

rovnice oskulačni kružnice křivky

#2 13. 02. 2014 14:14

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#3 13. 02. 2014 14:30 — Editoval Fukin5555 (13. 02. 2014 14:34)

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#4 13. 02. 2014 14:34

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#5 13. 02. 2014 14:37

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#6 13. 02. 2014 14:41

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#7 13. 02. 2014 15:05

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#8 13. 02. 2014 15:10 — Editoval Honzc (13. 02. 2014 15:31)

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#9 13. 02. 2014 15:19

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#10 13. 02. 2014 15:29 — Editoval Honzc (13. 02. 2014 15:32)

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#11 13. 02. 2014 15:32

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#12 13. 02. 2014 15:35

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#13 13. 02. 2014 15:44

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#14 13. 02. 2014 15:58

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#15 13. 02. 2014 16:19 — Editoval Fukin5555 (13. 02. 2014 16:25)

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

#16 13. 02. 2014 23:39

Re: rovnice oskulačni kružnice křivky

Zápatí