Matematické Fórum

emilly07 · 13. 02. 2014 15:02

prosím o radu, jak dokázat, že 4 body A,B,C,D tvoři kružnici a najít poloměr.

mám zadáno A(2i), B(-2i), C( $2\sqrt{2}$ ), D(- $\sqrt{2}$ )

vůbec nevím, jak to udělat.

díky za rady :)

Honzc · 13. 02. 2014 15:50

↑ emilly07:
To zadání máš nějaké divné.
Body v rovině mají 2 souřadnice (x-ovou, y-ovou)
Ty tam máš jen jednu a ještě nějaké i

gadgetka

Ahojky, a co druhé souřadnice bodů?

Jj · 13. 02. 2014 17:55 — Editoval Jj (13. 02. 2014 18:27)

↑ emilly07:

Dobrý den. Jsou-li uvedené body jakýmsi "zkráceným" zápisem čísel v Gaussově rovině,
pak při jejich znázornění v uvedené rovině je zřejmé, že mají-li ležet na kružnici, pak bude
její střed ležet na reálné ose v polovině úsečky CD, poloměr = $_{\overline{CD}/2}$ .
Můžete vyzkoušet, zda čísla A, B leží na uvedené kružnici.

Doplněno:

Mělo by to tak být:

Střed kružnice: $z_0(\sqrt{2}/2,0)$ , poloměr $r = 3\sqrt{2}/2$

Kružnice $z = z_0 + r\cdot e^{i\varphi}, \varphi \epsilon <0,2\pi)$ Viz: Odkaz

emilly07 · 13. 02. 2014 21:56

↑ Honzc:

i je komplexní číslo, žádné druhé souřadnice nemám, pouze toto

Honzc · 14. 02. 2014 06:34

↑ emilly07:
To je ovšem potřeba napsat celé zadání i s tím, že se jedná body na reálné a imaginární ose v komplexní rovině, protože analytická geometrie se týká geometrických útvarů v rovině nebo prostoru.
Jinak pokud to tedy převedeme do kartézské soustavy pak dostaneš pro rovnici kružnice
$(x-m)^{2}+(y-n)^{2}=r^{2}$
Nyní tam dosadíš souřadnice 3 bodů. Dostaneš 3 rovnice pro neznámé $m,n,r$
Třeba $[-\sqrt{2},0],[0,2],[0,-2]$
Z toho, že jeden bod je $[0,2]$ a druhý $[0,-2]$ a protože další bod leží na ose $x$ je hned vidět, že $n=0$ (i když to jde i lehce vypočítat)
Pak ze dvou rovnic spočítáš $m,r$
Potom do rovnice kružnice dosadíš ten čtvrtý bod $[2\sqrt{2},0]$ a pokud ti vyjde, že na ní leží, pak je důkaz hotov.