Matematické Fórum

matemak · 13. 02. 2014 15:33

Mám prosbu, nevíte někdo, jak se tento integrál $\int_{}^{}(2x+9)/(x^{2}+6x+10)dx$ rozloží na parcíální zlomky, postup?

Jj · 13. 02. 2014 15:47

↑ matemak:

Dobrý den, řekl bych, že

$\int \frac{2x+9}{x^2+6x+10}dx=\int \frac{2x+6 + 3}{x^2+6x+10}dx=\int $\frac{2x+6 }{x^2+6x+10}+\frac{3 }{x^2+6x+10}$dx$

První zlomek je základní integrál [f'(x)/f(x)], druhý upravit ve jmenovateli na úplný čtverec,
integrálem bude arkustangens.

matemak · 13. 02. 2014 16:47

↑ Jj: A nemohlo by to být tak, že se to rozloží na čtverec, z toho prvního bude přirozený logaritmus, ale nevím co vznikne z toho druhého? zasílám obrázek //forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/06329_2014-02-13%2B16.22.23%2B%25281024x768%2529.jpg

Jj · 13. 02. 2014 17:16 — Editoval Jj (13. 02. 2014 17:17)

↑ matemak:

Ne, nemohlo: Na konci předposledního řádku úplně nesprávně krátíte.

Tady ↑ Jj: to už máte v podstatě upraveno k integraci:

$\int \frac{2x+6 }{x^2+6x+10}dx=ln|x^2+6x+10|$

$\int \frac{3dx }{x^2+6x+10}=3\int \frac{dx }{1+ (x+3)^2}=3arctg(x+3)$ (v duchu si provedte
substituci: x+3 = t, dx = dt, dostanente tabulkový integrál --> integrálem bude arctg(t) + zpětná
substituce t = x + 3 a je hotovo).

Takže výsledek: $I = ln|x^2+6x+10| + 3arctg(x+3) + C$

Správnost si ověříte derivací - dostanete původní integrand.

Rumburak · 13. 02. 2014 17:27

K tomu prvnímu integrálu na posledním řádku jsi došel jak ?

Ten druhý typ integrálu se převede vhodnou substitucí na tvar

$\int \frac{\mathrm{d}y}{y^2 + 1} = \arctan y + C$ .

matemak

Ale u toho zlomku před přirozeným logaritmem, jak je v čitateli 2x+6 , to zmizelo kam? $\int_{}^{}\frac{2x+6}{x^2+6x+10}dx$

Jj · 13. 02. 2014 19:28

↑ matemak:

Výraz '2x + 6' nikam nezmizel.

V čitateli uvedeného integrandu je derivace jeho jmenovatele - integrál z takového výrazu
je logaritmus jmenovatele (v absolutní hodnotě - ta v tomto případě vlastně ani není nutná, protože
jmenovatel je pro všechna x > 0).

Matematické Fórum

#1 13. 02. 2014 15:33

rozklad na parciální zlomky

#2 13. 02. 2014 15:47

Re: rozklad na parciální zlomky

#3 13. 02. 2014 16:47

Re: rozklad na parciální zlomky

#4 13. 02. 2014 17:16 — Editoval Jj (13. 02. 2014 17:17)

Re: rozklad na parciální zlomky

#5 13. 02. 2014 17:23 Příspěvek uživatele matemak byl skryt uživatelem matemak. Důvod: chyba

#6 13. 02. 2014 17:27

Re: rozklad na parciální zlomky

#7 13. 02. 2014 17:29 — Editoval matemak (13. 02. 2014 17:33)

Re: rozklad na parciální zlomky

#8 13. 02. 2014 19:28

Re: rozklad na parciální zlomky

Zápatí