Matematické Fórum

Prochycz · 12. 02. 2014 22:41

Dobrý večer,

rád bych poprosil o pomoc s pochopením úplného metrického prostoru. Myslim si, že podstatu toho chápu. Aby byl metrický prostor úplný, je nutné, aby byla konvergentní posloupnost na té množině dané metriky. Ale mám problém to pochopit na daných příkladech. Mám obecně celkem problém pochopit správně ty metrické a normované prostory. Většina materiálů je psána pro vyšší znalce matematiky, kterou s obtížemi pochopim. Poměrně dobře se mi to dařilo pochopit z těchto skript o numerických optimalizacích, ale bohužel tam jsou prostory probírané pouze okrajově. Zas chápu, že tohle už asi snadněji vysvětlit nejde.

Teď k těm příkladům, které by mi to mohli pomoci snáze pochopit.

Pro množinu $\mathbb{R}$ s metrikou $\varrho (x,y)=|x-y|$ je prostor úplný.

Tady ten příklad jsem pochopil tak, že když budu mít nějakou konvergentní posloupnost v této metrice, tak mi vždy bude konvergovat právě v tom R, jiná možnost není. Je to správně?

Metrický prostor $(C(I),\varrho_\infty)$ je úplný, prostory $(C(I),\varrho_1) a (C(I),\varrho_2)$ nikoliv.
Pokud jsem to pochopil správně, tak $C(I)$ by mělo značit libovolný uzavřený interval. $L^p (f,g)=(\int_{I}^{}|f(x)-g(x)|^p dx)^\frac{1}{p}$

Řešení proč je úplný nebo neúplný v tomto případě mi nedochází, stejně jako v následující otázce:

Ve které normě je prostor $C(0,1)$ úplný a neúplný?

Prosím, pokud to bude mít v plánu vysvětlovat, zkuste to spíš lidsky než matematickými zápis. Byl bych vám velmi zavázán.

Předem děkuji

Bati · 13. 02. 2014 00:21

↑ Prochycz:
Ahoj,
abys něco správně pochopil, musíš vyjít z přesné definice a ne to zakládat na výroku jako

Aby byl metrický prostor úplný, je nutné, aby byla konvergentní posloupnost na té množině dané metriky.

Tahle věta nedává moc smysl ani z hlediska gramatiky, natož matematiky - jaká posloupnost? Všechny posloupnosti mají být konvergentní v dané metrice? Pokud by to tak bylo, tak se z úplných prostorů stanou hodně triviální struktury.

Takže si to ujasněme:
Metrický prostor je úplný, pokud každá Cauchyovská posloupnost v něm obsažená je konvergentní (tedy existuje její limita, která patří do toho prostoru).

Není těžké vymyslet prostor a Cauchyovskou posloupnost v něm, která není konvergentní, zároveň některé prostory jsou jistě úplné (nebo se dají zúplnit), proto předchozí definice má dobrý význam. Dostatečnou zásobu příkladů úplných metrických prostorů můžeš získat např. tak, že si vyhledáš příklady Banachových prostorů, neboť to jsou prostory, které jsou úplné a existuje na nich norma (a ta vždy generuje metriku).

Rumburak

↑ Prochycz:

Ahoj. Ještě z jiného pohledu:

V libovolném metrickém prostoru platí věta

Každá konvergentní posloupnost splňuje Bolzano-Cauchyovu podmínku (tj. je Cauchyovská) .

(Předpokládám, že znění B-C podmínky znáš.) Úplné metrické prostory jsou takové, v nichž platí i věta obrácená:

Každá posloupnost splňující Bolzano-Cauchyovu podmínku je konvergentní v příslušném prostoru (tj. má v něm limitu).

Příklad.

Interval $\langle 0, 1 \rangle$ reálných čísel opatřený metrikou $d(x, y) := |x-y|$ je úplný metrický prostor.

Nástin důkazu:
Je-li $(a_n)$ libovolná posloupnost čísel z $\langle 0, 1 \rangle$ , potom lze z ní vybrat posloupnost mající jistou limitu $a \in \langle 0, 1 \rangle$
(Cantorova věta) . Je-li posloupnost $(a_n)$ navíc Cauchyovská, potom $a$ je limitou celé posloupnosti $(a_n)$ .

Avšak podprostor $( 0, 1 \rangle$ výše uvedeného není úplný.
Nástin důkazu:
Posloupnost $$\frac{1}{n}$$ prvků z $( 0, 1 \rangle$ má v $\langle 0, 1 \rangle$ limitu $0$ , takže jde o Cauchyovskou posloupnost v $\langle 0, 1 \rangle$
a také ovšem i v $( 0, 1 \rangle$ . Avšak uvedená posloupnost limitu v $( 0, 1 \rangle$ nemá, protože její limitou by mohla být
jedině $0$ , která ale není prvkem prostoru $( 0, 1 \rangle$ . Takže $$\frac{1}{n}$$ je posloupnost, která je v $( 0, 1 \rangle$ Cauchyovská,
ale nemá v něm limitu, což je v rozporu s definicí úplného prostoru.

Tento základ je potřeba pochopit, teprve pak se můžeme případně podívat dál.

Prochycz · 13. 02. 2014 19:20

↑ Rumburak:
Děkuji za vyčerpávající odpověď

Myslim si, že konvergentní a Cauchyovskou posloupnost snad chápu.

Takže pokud tomu dobře rozumim, tak abych řekl o prostoru, že je neúplný, tak musim vymyslet takovou Cauchyho posloupnost, která nemá v tom daném metrickém prostoru limitu? Počítám s tím, že pro matematiky to je poměrně jednoduché nebo to vidí rovnou, ale já to v těch příkladech nějak nevidim. Doufám tedy, že jsem tomu dobře porozuměl a nemluvim tu nesmysly.

Rumburak · 14. 02. 2014 10:43

↑ Prochycz:

V příspěvku 4 jsi to vyjádřil už naprosto správně.

Úplnost metrického prostoru se může "pokazit" nejen změnou jeho "nosné" množiny, jak jsme to viděli na onom příkladu
v příspěvku ↑ Rumburak: , ale také změnou metriky.

Příklady:

1) Interval $\langle 1 , +\infty )$ reálných čísel s metrikou $d(x, y) := |x-y|$ je úplný metrický prostor, avšak při metrice
$\delta(x, y) := |x^{-1}-y^{-1}|$ (není těžké dokázat, že jde o metriku) úplným prostorem nebude. Poslopnost $(n)$ přirozenných
čísel 1, 2, 3, ... je v této metrice cauchyovská, ale bez limity v $\langle 1 , +\infty )$ .

2) Uvažuj prostor $C(\langle -1, 1\rangle)$ všech reálných funkcí spojitých na intervalu $\langle -1, 1\rangle$ , který je jejich definičním oborem.
Při metrice
$m(f, g) = \max_{x \in \langle -1, 1\rangle}|f(x)-g(x)|$

jde o úplný prostor, jak plyne z věty o stejnoměrné konvergenci posloupnosti spojitých funkcí. Nahraď ji metrikou

$\mu(f, g) = $\int_{-1}^1|f(x)-g(x)|^2\, \mathrm{d}x$^{\frac{1}{2}}$

a vezmi posloupnost $(f_n) , n = 1, 2, ...$ funkcí z $C(\langle -1, 1\rangle)$ definovaných následovně:

$f_n(x) = ...$
$... = nx$ , pokud $x \in \langle -\frac{1}{n} , \frac{1}{n} \rangle$ ,
$... = \text{sign}(x)$ v ostatních případech.

Pro kterou funkci $f$ platí $\lim_{n \to \infty}\mu(f_n, f) = 0$ a co z tohoto výsledku plyne ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 14. 02. 2014 11:04 — Editoval vanok (14. 02. 2014 11:04)

Pozdravujem ↑ Rumburak:, ↑ Prochycz:
Dolezity doplnok
Z neuplneho metrickeho priestoru sa daju konstruhovat uplne metricky priestoru
Ako napr tu http://en.wikipedia.org/wiki/Constructi … al_numbers
je ukazane ako z Q, mozme vdaka Cauchy-ovym postupnostiam a dobre vybranej relacii ekuivalentnosti sa konstruhuje R...

Rumburak · 14. 02. 2014 11:28

↑ vanok:
Ahoj, děkuji za doplnění. Také jsem uvažoval, zda se mám o úplném obalu zmínit, ale odložil jsem to,
aby toho nebylo na kolegu příliš mnoho najednou. :-)

vanok · 14. 02. 2014 11:30

↑ Rumburak:,
Ano, vsak preto som sa limitoval iba na R.

Prochycz · 15. 02. 2014 17:14

↑ Rumburak:
Tak asi na mě jdeš moc rychle. Snažil jsem se tomu přijít celý den na kloub, abych nepokládal stále jednoduchý dotazy, ale bohužel bez úspěchu.

a) Zjistil jsem, že asi nevim, jak se pracuje s posloupnostmi v metrických prostorech. Když vezmu tu metriku v 1) $\delta(x, y) := |x^{-1}-y^{-1}|$ jak v tomto metrickém prostoru funguje ta posloupnost $n (1,2,3...)$ , jak bych si ji měl představit? Dejme tomu, jak si vyjádřim funkci té posloupnosti? Nebo si řeknu např. $x^n$ , což nám v našem případě vychází $\lim_{n\to\infty}(x^n)^{-1}=0$ , nebo snad pouze jako $1/n$ ? V tomhle dost tápu, a počítám, že se od toho odvíjet další moje nedodstatky.

b) Nějak nerozumim tomuto $x\in\langle-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\rangle$ . Znamená to, že $x$ zavisí na aktuálním $n$ ?

c) Poslední věc je, že nějak nevim, co v tomto případě dosazuji za to $f$ , $\lim_{n \to \infty}\mu(f_n, f) = 0$ . Počítám, že to $f_n$ je ta naše posloupnost funkcí. Jediný, co mě napadlo, tak snad pouze bez toho $n$ např. pro $sign(x)$ $\lim_{n\to\infty} (f_n,f)=|sign(x)-sign(x)|=0$ , ale přijde mi to příliš primitivní, aby to byla pravda.

Děkuji a předem se omlouvám, jestli moje chápání je trochu pomalejší.

jarrro · 15. 02. 2014 19:11

pri metrike
$\varrho{$x, y$}=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|$
je postupnosť $a_n=n$
cauchyovská, lebo pre veľké $m, n$ je $\varrho{$a_n,a_m$}=\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|<\varepsilon$
ale limita danej postupnosti neexistuje, lebo keby áno ,tak by musela postupnosť
$d_n=\left|\frac{1}{L}-\frac{1}{n}\right|$ mať nulovú limitu (v bežnom reálnom prípade) čo sa zrejme pre žiadne L reálne nemôže stať teda daná postupnosť nemá limitu v priestore reálnych čísel s danou metrikou
v prípade priestoru spojitých (v bežnom reálnom prípade) funkcií na intervale $\left\langle -1, 1\right\rangle$ s metrikou
$\mu(f, g) = $\int_{-1}^1|f(x)-g(x)|^2\, \mathrm{d}x$^{\frac{1}{2}}$
postupnosť $$f_n{\(x$}\)_{n=1}^{\infty}$ funkcií definovaná predpisom
$f_n{$x$}=\begin{cases}nx \text{ ak } & x\in\left\langle -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right\rangle\\\mathrm{sign}{$x$}\end{cases}$ (pre každé $n$ ide o inú funkciu)
pre túto postupnosť platí $\lim_{n\to\infty}{\mu{$\mathrm{sign},f_{n}$}}=0$
teda pri danej metrike na v kvadráte integrovateľných funkciách je signum (resp. množina funkcií so signom sa rovnajúcich skoro všade) limitou danej postupnosti teda musí byť tá postupnosť aj cauchyovská. Funkcia signum ako aj každá funkcia rovnajúca sa jej skoro všade však nie je na žiadnom intervale obsahujúcom nulu spojitá preto priestor spojitých funkcií s danou metrikou nie je úplný

Rumburak

↑ Prochycz:
Ahoj.
Kolega ↑ jarrro:, jehož zdravím, to už vysvětlil za mne, za což mu tímto děkuji. Ale kdyby ani to nestačilo,
klidně se ptej dál.

Ku Tvým otázkám ještě pár věcí doplním.

a) Zjistil jsem, že asi nevim, jak se pracuje s posloupnostmi v metrických prostorech. ...

Pracuje se s nimi jednak prostřednictvím předpisu, jímž jsou zavedeny, jednak prostřednictvím uvažované metriky.
Často je při tom potřeba oprostit se od představ, k nimž nás dovedla eukleidovská geometrie, která je pro obecnou
teorii metrických prostorů jen jedním z jejích modelů (speciálních případů).
Samotnou posloupnost $(1,2,3, ...)$ si můžeš představit stejně jako dříve, avšak zavedení "netradiční" metriky
$\delta(x, y) := |x^{-1}-y^{-1}|$ znamená, že vzdálenost bodů "měříme" (v této situaci) jinak, než jak jsme byli doposud
zvyklí. "Klasickou" vzdáleností čísel $10^6, 10^{100}$ (opírající se o představy z eukleidovské geometrie) je $|10^6 - 10^{100}| = ...$ ,
zatímco vzdálenost týchž čísel při speciálně zavedené metrice $\delta$ je $|10^{-6}-10^{-100}| = ...$ .
To samozřejmě neznamená, že od této chvíle budeme používat jen metriku $\delta$ . Tato metrika byla zavedena pouze účelově,
abychom ukázali, že úplnost prostoru je záležítostí nejen jeho nosné množiny, ale i zvolené metriky.

I v praxi se setkávíme různými metrikami. Vzdálenost z města A do města B může být s hlediska silničního spojení
jiná než s hlediska železničního spojení.

b) Nějak nerozumim tomuto $x\in \left\langle-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right\rangle$ . Znamená to, že $x$ zavisí na aktuálním $n$ ?

Ne. Znamená to, že předpis pro funkci $f_n$ závisí na aktuálním $n$ , přesněji: na uvedeném intervalu se hodnoty
funkce $f_n$ "vypočítávají" podle jiného vzorce, než v ostatních bodech intervalu $\langle -1, 1 \rangle$ .
S tímto větvením funkčího předpisu se kolega ↑ jarrro: vypořádal v TeXu lépe, tak snad i srozumitelněji.

c) Poslední věc je, že nějak nevim, co v tomto případě dosazuji za to $f$ , $\lim_{n \to \infty}\mu(f_n, f) = 0$ .

Bylo to míněno jako dílčí úloha najít všechny funkce $f$ (ne nutně spojité), pro něž $\lim_{n \to \infty}\mu(f_n, f) = 0$ .

Řešit tuto dílčí úlohu vyžaduje určité znalosti z teorii Lebesgeova integrálu, proto jsem řešení uvedl ve skryté nápovědě.

Prochycz · 18. 02. 2014 01:13

Děkuji za vaši trpělivost :-)

Takže pokud tomu rozumim, takže tím, že ten interval prochází nulou, tak tím je funkce v nule nespojitá (jak vychází z definice sign) a poté je prostor neúplný. Takže kdyby byl třeba interval $(C \langle 1, 2\rangle)$ z té samé metriky, tak tam je Signum spojitý a mohlo by se jednat o úplný metrický prostor, pokud bych teda nepřišel na nějaký zápis posloupnosti funkcí, který by to opět vyvrátil?

Brano · 18. 02. 2014 01:19

signum je na $[1,2]$ rovne $1$ - teda je to spojita fcia - podobny priklad nespojitej je napr $sign(x-1.5)$

Rumburak

↑ Prochycz:

Že jsem ten příklad sestrojil na uz. intervalu , jehož středem je 0, jsem učinil v zájmu co největší přehlednosti,
ale jinak to není podstatné. Substitucí tvaru x = Kt + C (kde t je nová proměnná a K>0, C jsou vhodné konstanty)
lze situaci přenést do libovolného jiného uz. intervalu <a, b>.

Konkretní takový příklad uvedl kolega ↑ Brano:.

Prochycz · 18. 02. 2014 11:41

Jasný, takže daná metrika bude vždy neúplná na tom daném prostoru. Pokud to vezmu, tak každá metrika spojitých funkcí bude neúplná kromě maximové metriky, nebo se pletu?

Rumburak · 18. 02. 2014 12:07

↑ Prochycz:

každá metrika spojitých funkcí bude neúplná kromě maximové metriky,

To je dost silné tvrzení, metrik může být opravdu mnoho. Vezměme spojité funkce na intervalu $\langle 0, 2 \rangle$
a na jejich prostoru definujme $\varrho(f, g) := \sqrt{(\max_{x \in \langle 0, 1 \rangle}|f(x)-g(x)|)^2 + (\max_{x \in \langle 1, 2 \rangle}|f(x)-g(x)|)^2}$ .

Nezkoumal jsem tento funkcionál podrobně, ale odhadují, že půjde o metriku, v níž bude $C(\langle 0, 2 \rangle)$ úplný.

Prochycz · 18. 02. 2014 12:39

Jasný, jen jsem nevěděl a zatím nevím typy metrik, který můžeme mít.

Rumburak · 18. 02. 2014 16:56

↑ Prochycz:

Existují různé zajímavé metriky, zkus sehnat nějakou monografii pojednávající o metrických prostorech
(kdysi existovala matfyzácká skripta na toto téma).
Za klasickkou učebnici metrických prostorů je považána kniha Eduarda Čecha Bodové množiny, kterou ale
ke své škodě osobně neznám.

Zkus se poradit s vyučujícím (tedy pokud jsi student).

Prochycz · 18. 02. 2014 20:59

Děkuji za doporučení publikací. Mě byla kolegy studenty doporučena kniha Rektorys Variační metody a Přehled užité matematiky. Tu první se mi podařilo sehnat, ale zdálo se to pro mě celkem složité. Tu druhou knihu se mi nepodařilo sehnat.

Jinak děkuji všem za pomoc a ochotu se mi věnovat, i když vím, že to nebylo lehké. :-)

Matematické Fórum

#1 12. 02. 2014 22:41

Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#2 13. 02. 2014 00:21

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#3 13. 02. 2014 10:39 — Editoval Rumburak (13. 02. 2014 11:34)

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#4 13. 02. 2014 19:20

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#5 14. 02. 2014 10:43

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#6 14. 02. 2014 11:04 — Editoval vanok (14. 02. 2014 11:04)

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#7 14. 02. 2014 11:28

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#8 14. 02. 2014 11:30

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#9 15. 02. 2014 17:14

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#10 15. 02. 2014 19:11

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#11 17. 02. 2014 10:55 — Editoval Rumburak (17. 02. 2014 11:02)

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#12 18. 02. 2014 01:13

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#13 18. 02. 2014 01:19

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#14 18. 02. 2014 09:50 — Editoval Rumburak (18. 02. 2014 10:38)

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#15 18. 02. 2014 11:41

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#16 18. 02. 2014 12:07

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#17 18. 02. 2014 12:39

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#18 18. 02. 2014 16:56

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

#19 18. 02. 2014 20:59

Re: Úplný metrický prostor - Ukázka na příkladu

Zápatí