Matematické Fórum

Michelangelo · 16. 02. 2014 17:30

Zdravím,

jednochý problém druhá odmocnina čísla 4 může být +-2.

Proč? Platí to i pro odmocniny vyšších řádů?

Díky

gadgetka · 16. 02. 2014 17:47

Ahoj, není to tak, jak píšeš:
$\sqrt 4=2$

ale
$x^2=4\\ (x-2)(x+2)=0\\ x_{1,2}=\pm 2$

Arabela · 16. 02. 2014 18:27

Ahoj ↑ Michelangelo:,
v množine reálnych čísel je definovaný symbol druhej odmocniny jednoznačne; ako píše kolegyňa gadgetka: $\sqrt{4}=2$ .
Je síce pravda, že aj podobne ako $2^{2}=4$ , platí aj $(-2)^{2}=4$ , a práve preto bola pridaná podmienka, že výsledok odmocnenia v reálnych číslach má byť to nezáporné číslo z oných dvoch do úvahy prichádzajúcich (práve kvôli tej jednoznačnosti symboli reálnej odmocniny). Toto sa v R veľmi osvedčilo a má to svoje opodstatnenie.
Ak Ťa ale láka možnosť, že druhá odmocnina by mohli byť dve čísla, tretia odmocnina tri, atď., potom odporúčam sa oboznámiť s komplexnými číslami...

Michelangelo · 16. 02. 2014 18:38

Děkuji za vysvětlení.

@gadgetka - slo by $x^2=4$ prepsat jako $x=\sqrt{4}$ ?

I pak by byly ty nulove body $x_1x_2 = \pm 2$ ?

@Arabela - rozumim, souvisi pak ty komplexni cisla napriklad s tim, ze lze vypocítat lichou odmocninu záporného čísla? - třeba $y=\sqrt[3]{-27}$

Díky ještě jednou, jsou to takovy jednoduchý věci, ale dá se tim zaobírat poměrně dlouho. :)

gadgetka · 16. 02. 2014 19:38

Ano,
$x=\pm \sqrt 4$
i pak by ty kořeny byly $\pm 2$ .

Arabela · 17. 02. 2014 10:15

↑ Michelangelo:
je užitočné si pamätať pravidlo $\forall x\in R: \sqrt{x^{2}} = |x|$ . Je to pochopiteľné; keby to neplatilo, platilo by napríklad $\sqrt{(-3)^{2}}=-3$ , čo predsa nechceme, keďže $\sqrt{9}=3$ .
Čo sa týka nepárnej odmocniny zo záporného čísla, to je ešte ďalšia, samostatná kapitola. V tomto nepanuje jednotnosť. V niektorých štátoch sa matematici dohodli, že takéto niečo nebudú definovať (ako napríklad u nás na Slovensku) - a majú na to dobré dôvody; v iných štátoch to zase povoľujú. Je to vec vkusu. V každom prípade platí napr., že rovnica $x^{3}=-27$ má v R riešenie, je ním $x=-3$ . Rozdiel je len v tom, či toto číslo nazvať treťou odmocninou z (-27 ), alebo sa tomuto označeniu radšej vyhnúť...

Honzc · 17. 02. 2014 11:24 — Editoval Honzc (17. 02. 2014 11:28)

↑ Arabela:
Ono je to ještě trochu komplikovanější.
V ČR je to takto:
Odmocniny z reálných čísel.
Pro a>0, n přirozené číslo. Pak existuje právě jedno kladné reálné číslo x, pro něž platí:
$x^{n}=a$ . Číslo x se nazývá n-tá odmocnina z čísla a.

Pro a<0 a pro lichá n se definuje $\sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{-a}$

A ještě obecná mocnina s racionálním exponentem se dfinuje pouze pro x>0.
$x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$

Matematické Fórum

#1 16. 02. 2014 17:30

Proc je vysledek odmocniny absolutni hodnota

#2 16. 02. 2014 17:47

Re: Proc je vysledek odmocniny absolutni hodnota

#3 16. 02. 2014 18:27

Re: Proc je vysledek odmocniny absolutni hodnota

#4 16. 02. 2014 18:38

Re: Proc je vysledek odmocniny absolutni hodnota

#5 16. 02. 2014 19:38

Re: Proc je vysledek odmocniny absolutni hodnota

#6 17. 02. 2014 10:15

Re: Proc je vysledek odmocniny absolutni hodnota

#7 17. 02. 2014 11:24 — Editoval Honzc (17. 02. 2014 11:28)

Re: Proc je vysledek odmocniny absolutni hodnota

Zápatí