Matematické Fórum

milan.w · 17. 02. 2014 13:01

Zdravím,

potřeboval bych poradit, z části důkazu kterou uvedu pod tímto textem nechápu co to znamená "odhadneme triviálně číselné koeficienty zlomků" jestli by mi to prosím mohl někdo vysvětlit, děkuji.

máme dánu rovnost

$\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) =1+ \frac{1}{3\left(2n+1\right)^2}+\frac{1}{5\left(2n+1\right)^4}+\frac{1}{7\left(2n+1\right)^6} \cdots$

Vidíme, že pravá strana rovnosti je větší než 1 a odhadneme-li číselné koeficienty triviálně: $\frac{1}{5}<\frac{1}{3}, \frac{1}{7}<\frac{1}{3}$ atd dostaneme geometrickou řadu s kvocientem $\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}$ , kterou sečteme:

$1+\frac{1}{3\left(2n+1\right)^2}+\frac{1}{5\left(2n+1\right)^4}+\cdots<1+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}+\frac{1}{\left(2n+1\right)^4}+\frac{1}{\left(2n+1\right)^6}\cdots\right)$

Honzc · 17. 02. 2014 13:54

↑ milan.w:
Co ti na tom není jasného?
Když si v té pravé straně odmyslíš ty koeficienty 1/3, 1/5, 1/7 atd, tak dosatneš geometricku řadu s $q=\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}$
A protože 1/3 je největší z čísel 1/3,1/5 atd. pak ten součet musí být logicky menší než 1/3 součtu geometrické řady.

Matematické Fórum

#1 17. 02. 2014 13:01

Analýza - odhad číselných koeficientů u zlomků

#2 17. 02. 2014 13:54

Re: Analýza - odhad číselných koeficientů u zlomků

Zápatí