Matematické Fórum

Mirgeee

Dobrý den, mám problém s další úlohou z elektrostatiky...

Určete potenciál ve středu destičky nabité nábojem Q, má li destička tvar čtverce o straně a.

Myslím, že to lze řešit tak, že bych si zjistil potenciál ve vzdálenosti x od prostředku tenké tyče délky a. Ten vychází
${{\tau} \over {2 \pi \epsilon_0}}ln{a + \sqrt{a^2 + x^2} \over {x}}$ .
Kdybych integroval ten od -a/2 do a/2, dostal bych správný výsledek? Ten integrál vypadá dost děsivě, nejde to řešit jednodušeji?

Díky za pomoc...

Jj · 16. 02. 2014 17:57

↑ Mirgeee:

Dobrý den, těmto věcem až tak nehovím, ale řekl bych, že pro integraci bude lepší nevycházet z pevné délky tenké tyče. Účelnější bude rozdělit čtverec úhlopříčkami na 4 trojúhelníky a integrovat přes tyto samostatné segmenty. Pak bude délka tenké tyče 'a' úměrná vzdálenosti x od středu - čili proměnná x se ve výrazu vykrátí a integrace se podstatně zjednodušší. Myslím, že jsem na tento postup už někde narazil.

Brzls · 16. 02. 2014 20:36

↑ Mirgeee:

Ahoj

Podle mě máš ale špatně ten vzorec co uvádíš.
$\varphi (x)=\frac{\tau }{4\pi \varepsilon _{0}}\int_{-a}^{a}\frac{dy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{\tau }{4\pi \varepsilon _{0}}[ln(\frac{y}{x}+\sqrt{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}]_{-a}^{a}$

což se nerovná tomu co píšeš ty

Jj · 17. 02. 2014 16:53

↑ Brzls:
Zdravím, řekl bych, že se výsledek ještě dá upravit:

$\frac{\tau }{4\pi \varepsilon _{0}}[ln(\frac{y}{x}+\sqrt{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}]_{-a}^{a}=\frac{\tau }{4\pi \varepsilon _0}[ln\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}]_{-a}^{a}=$
$=\frac{\tau }{4\pi \varepsilon _{0}}$ln\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}-ln\frac{-a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}$=\frac{\tau }{4\pi \varepsilon _{0}}ln\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{-a+\sqrt{x^2+a^2}}=$
$=\frac{\tau }{4\pi \varepsilon _{0}}ln\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{-a+\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{\tau }{4\pi \varepsilon _{0}}ln\frac{(a+\sqrt{x^2+a^2})^2}{-a^2+x^2+a^2}=\frac{\tau }{4\pi \varepsilon _{0}}ln$\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}$^2=$
$=\frac{\tau }{2\pi \varepsilon _{0}}ln\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}$

Jen bych řekl (s ohledem na meze integrace od -a do a), že vzorec není pro délku tyče a, jak píše kolega ↑ Mirgeee:, ale pro délku 2a.

Brzls · 17. 02. 2014 18:23

↑ Jj:
Omlovám se nějak mi ta úprava nedošla, počítal sem to rovnou potom pro tu destičku, s tim postupem co jste navrhoval to rovnou přecházelo na jednoduchý výsledek, takže sem nad tou úpravou moc nepřemýšlel

Jj · 17. 02. 2014 18:26

↑ Brzls:

Určitě se není za co omlouvat.

Matematické Fórum

#1 16. 02. 2014 17:04 — Editoval Mirgeee (16. 02. 2014 17:05)

Potenciál nabité destičky

#2 16. 02. 2014 17:57

Re: Potenciál nabité destičky

#3 16. 02. 2014 20:36

Re: Potenciál nabité destičky

#4 17. 02. 2014 16:53

Re: Potenciál nabité destičky

#5 17. 02. 2014 18:23

Re: Potenciál nabité destičky

#6 17. 02. 2014 18:26

Re: Potenciál nabité destičky

Zápatí