Matematické Fórum

Straka · 12. 02. 2014 17:01

Čaute, moc si nevím s příkladem tohoto znění..
(2-i\sqrt{2})^{7}
Základní binomický rozvoj zvládnu, ale mám spíše problém v dalším kroku s úpravou komplexního čísla, tak kdyby někdo věděl, nebo mě aspoň nakopl..byl bych moc rád.

Freedy · 12. 02. 2014 17:12

pouze všechny icka nahradíš podle vztahu:
$\text i^{4k}=1$
$\text i^{4k+1}=\text i$
$\text i^{4k+2}=-1$
$\text i^{4k+3}=-\text i$

gadgetka

$(2-i\sqrt{2})^{7}={7\choose 0}\cdot 2^7\cdot (-i\sqrt 2)^0+{7\choose 1}\cdot 2^6\cdot (-i\sqrt 2)^1+{7\choose 2}\cdot 2^5\cdot (-i\sqrt 2)^2+{7\choose 3}\cdot 2^4\cdot (-i\sqrt 2)^3+{7\choose 4}\cdot 2^3\cdot (-i\sqrt 2)^4+$
$+{7\choose 5}\cdot 2^2\cdot (-i\sqrt 2)^5+{7\choose 6}\cdot 2^1\cdot (-i\sqrt 2)^6+{7\choose 7}\cdot 2^0\cdot (-i\sqrt 2)^7$

$(-i\sqrt 2)^2=2i^2=-2$
$(-i\sqrt 2)^3=-i^3\cdot 2\sqrt 2=-(i\cdot i^2)\cdot 2\sqrt 2=-(-i)\cdot 2\sqrt 2=i2\sqrt 2$
$(-i\sqrt 2)^4=4\cdot i^2\cdot i^2=4(-1)^2=4$
$(-i\sqrt 2)^5=-(i^3\cdot i^2)\cdot 4\sqrt 2=-(-i\cdot -1)\cdot 4\sqrt 2=-4i\sqrt 2$

$(-i\sqrt 2)^6=(i^2)^3\cdot 8=8(-1)^3=-8$

$(-i\sqrt 2)^7=-(i^6\cdot i)\cdot 8\sqrt 2=8i\sqrt 2$