Matematické Fórum

cutrongxoay · 18. 02. 2014 21:29

Zdravim,
potreboval bych prosim vysvetlit tuto ulohu

Spojením středů stran čtverce vznikne nový čtverec, z toho stejným způsobem třetí čtverec atd. Jak velký je plošný obsah čtverce, vzniklého desátým dělením, je-li strana původního čtverce $a$

Výsledek udávají $\frac{a^2}{1024}$
Předem díky

vanok · 18. 02. 2014 22:01 — Editoval vanok (18. 02. 2014 22:02)

Ahoj ↑ cutrongxoay:,
Prve delenie ti da stvorec co ma polovicny obsah povodneho stvorca.
Ak oznacis obsah povodneho stvorca $S_0=a^2$
Ak oznacis obsah stvorca co dostanes po $i$ deleniach: $S_{i}$ ,
tak $S_{i+1}=\frac{S_ i}2$

Skus teraz dokazat, ze : pre kazde prirodzene $n$ plati, $S_n=\frac {S_0}{2^n}$ .
Na koniec vyuzi to na tvoje cvicenie.

Blackflower

↑ cutrongxoay: Ahoj,
keď spojíš prvý raz stredy strán a urobíš druhý štvorec, druhý štvorec má polovičný obsah oproti pôvodnému, čiže $\frac{a^2}{2}$ (stačí Pytagorova veta). Toto zopakujme v druhom štvorci, získame tretí štvorec, ktorý má polovičný obsah oproti druhému štvorcu, čiže $\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2^2}$ .
Keď celú procedúru zopakujeme 10x, najmenší štvorec bude mať teda obsah $\frac{a^2}{2^{10}}=\frac{a^2}{1024}$ .

EDIT: tak nič, zase raz neskoro