Matematické Fórum

Tassdar · 22. 02. 2014 21:10

Zdravim, mám tento příklad:

$\sum_{n=1}^{\infty } nx^{n}$

Dokážu vyčíst, že od x=+-1 výš to bude divergovat k +-nekonečnu a -1<x<1 to bude konvergovat k nule. Ale jak k tomu dojdu? jaká se na toto používá metoda? Mohl by tu někdo něco nadhodit ať se mám čeho chytnout? Děkuju

nanny1 · 22. 02. 2014 21:49

Ahoj, využij poznatků o geometrických posloupnostech pro různé kvocienty. Formálně se potom dají použít kritéria pro číselné řady (Cauchyovo apod.)

jarrro · 22. 02. 2014 21:52

má sa určiť len obor konvergencie alebo aj súčet ak aj súčet tak vyňať x a zvyšok zintegrovať vyjde geometrický rad potom jeho súčet zderivovať
ak len obor konvergencie tak napríklad uvážiť , že mocninné rady konvergujú na intervale a na vnútri toho intervalu konvergujú absolútne teda stačí skúmať absolútnu konvergenciu a krajné body ošetriť osobitne. na zistenie oboru absolútnej konvergencie stačí v tomto prípade napríklad podielové kritérium

Tassdar · 23. 02. 2014 10:10

Takže si řeknu, že geometrická řada konverguje na intervale (-1,1), problém tu mám se záporným znamínkem takže to hodím do absolutní hodnoty.

$\sum_{n=1}^{\infty } |nx^{n}|$

a aplikuju podílové kriterium
Čili mám tento vzorec:

$\frac{an+1}{an}$

Tak si prostě spočtu pár n a zjistím zda jsou v rozmezí (0,1) pak řada konverguje a pokud jsou větší jak 1 tak diverguje?

Což tedy musí být vždy větší jak 1 jelikož jsme odstranli všechny záporné členy.
Je to tak, nebo jsem to pochopil špatně?

Tassdar · 23. 02. 2014 12:20

Zapoměl jsem dodat, že mám určit jen obor konvergence.

nanny1 · 23. 02. 2014 17:30 — Editoval nanny1 (23. 02. 2014 17:50)

Možná by bylo lepší použít odmocninové kritérium. N je přirozené číslo a nemusí teda být v absolutní hodnotě, stačí napsat $\sum_{n=1}^{\infty }n.|x|^{n}$ . X samozřejmě musí být v absolutní hodnotě, abychom vůbec tohle kritérium mohli použít. No a pak tenhle výraz (s n-tou odmocninou) polož menší než jedna a zjistíš (ono je to vidět hned..), pro která x to platí. Pak to ještě chce vyšetřit krajní body intervalu a rozhodnout, jestli bude otevřený nebo uzavřený (nebo polouzavřený).

Tassdar · 23. 02. 2014 18:12

Myslíš to takto?
$n\cdot |x|^{n} < 1$
$|x|^{n} < \frac{1}{n}$
$|x| < \sqrt[n]{\frac{1}{n}}$

Proč musí být výraz menší než 1? a kde jsem uplatnil odmocninové pravidlo?

Nebo jsem ho měl použít nejprve? Našel jsem, že vypadá takto

$\lim_{k\to\infty } (\sqrt[k]{a_{k}})=\varrho$

tak tam zkusím dosadit a pak to položit menší jedné

$\lim_{n\to\infty } (\sqrt[n]{n\cdot |x|^{n}})<1$

to mi ale taky nedává příliš velký smysl

pokusím se zatím alespon o ty krajní hodnoty, mám tam teda 1 a -1, když dosadím 1

$n \cdot 1^{n}$

bude mi to divergovat k nekonečnu takže u kladné 1 by měli být kulaté závorky,

pokud tam dám -1

$n \cdot -1^{n}$

bude mi to oscilovat z kladného na záporný podle n, tudíž jestli se nepletu musím použít liebnizovo pravidlo a to by se mělo počítat taky přes limitu z an, pokud by se rovnala nule, je konvergentní

omlouvám se jestli to jsou nesmysly, zkouším to celý den pochopit

nanny1 · 23. 02. 2014 18:41 — Editoval nanny1 (23. 02. 2014 19:00)

Po úpravě dostaneš $^{lim_{}}_{n->\infty }\sqrt[n]{n}.|x|<1$ a $\sqrt[n]{n}=1$ (dá se to ukázat přes limitu n->oo $e^{ln\sqrt[n]{n}}$ ). Takže už jenom vyšetřujeme, kdy je ta absolutní hodnota z x menší než 1.
Edit: S krajními body máš pravdu - když do původního předpisu řady dosadíme 1 a -1, nemáme nutnou podmínku konvergence. Pro -1 se posloupnost bude čím dál víc odchylovat od osy x až k +-oo. Je to jasný? Ptej se dál, jestli jsou tam ještě nejasnosti.

Tassdar · 23. 02. 2014 19:42

Takže, díky tomu odmocninovému kriteriu jsme zjistili, že aby ta řada konvergovala tak $|x|<1$ ?

Abych to tedy shrnul, dosadíme do odmocninového kriteria, zjednodušíme a položíme s limitou menší jedné (protože nám to kriterium říká, že řada konverguje pokud je ta limita rovna nule.)

A pak se řeší jen ty krajni body.

Snad to tak nějak je?

nanny1 · 23. 02. 2014 19:47 — Editoval nanny1 (23. 02. 2014 19:48)

Pořád nic? :) $\lim_{n\to\infty } (\sqrt[n]{n\cdot |x|^{n}})=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}.\sqrt[n]{|x|^{n}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}.|x|=|x|<1=>x\in (-1,1)$ Odmocninové kritérium nám "najde" kvocient geometrické posloupnosti a my hledáme takový kvocient, pro který posloupnost konverguje, proto se hledá |x|<1. X je v tomhle případě, jinak to může být samozřejmě i nějaký jiný předpis.
Edit: Pochopil jsi to správně. :)

Tassdar · 23. 02. 2014 20:00

Dobře, dobře, tohle se mi jeví už srozumitelné. Jen mi nejde do hlavy, jak jsme z tý limity vyrobili tu podmínku. Ukazala jsi že n odmocna na n tou je jedna, dobře takže nám tím pádem ta limita odpadá a odmocninové kriterium nám "vyplivlo" že kvocient je X?

nanny1 · 23. 02. 2014 20:04 — Editoval nanny1 (23. 02. 2014 20:10)

Přesně tak, limita je |x|. Tady je hezky vysvětlený, jak to kritérium funguje: http://analyza.kma.zcu.cz/PREDMETY/M1_M … -small.pdf - na straně 44 (Cauchyovo kritérium). Ono se to dá řešit i jinak - přes střed konvergence, ale mně se tohle líbí, protože je vidět ta souvislost s geometrickou řadou a ani si ten jiný způsob, který jsme se učili, nepamatuju. :D Tady prostě vidím hned, proč to tak je a tím pádem si to budu pamatovat pořád..

Tassdar · 23. 02. 2014 20:12

Dobře, já ti moc děkuju za ten porod se mnou. Projedu si to pdfko a kdyby bylo cokoliv, co bych mohl udělat já pro tebe, tak klidně napiš.

nanny1 · 23. 02. 2014 20:15

To nestojí za řeč. ;) Já se tady taky ptám na různý věci a vždycky si při tom připadám jako největší blbec. :D

Tassdar · 23. 02. 2014 20:34

Přesně tak, dumám nad odpovědí a neptám se moc unáhleně, abych nebyl ještě za většího blba :D Nakonec stejně sepíšu takovej myšlenkovej pochod :D

nanny1 · 23. 02. 2014 20:46

Náhodou - je fakt super, že chceš pochopit podstatu věci a ne se jen navrčet vzorečky nazpaměť. :) Přeju hodně úspěchů ve studiu.

Tassdar · 23. 02. 2014 20:52

Děkuju, já to jinak neumím než si pamatovat jak to funguje. Tobě taky ať se daří :)

Matematické Fórum

#1 22. 02. 2014 21:10

Součet nekonečných řad

#2 22. 02. 2014 21:49

Re: Součet nekonečných řad

#3 22. 02. 2014 21:52

Re: Součet nekonečných řad

#4 23. 02. 2014 10:10

Re: Součet nekonečných řad

#5 23. 02. 2014 12:20

Re: Součet nekonečných řad

#6 23. 02. 2014 17:30 — Editoval nanny1 (23. 02. 2014 17:50)

Re: Součet nekonečných řad

#7 23. 02. 2014 18:12

Re: Součet nekonečných řad

#8 23. 02. 2014 18:41 — Editoval nanny1 (23. 02. 2014 19:00)

Re: Součet nekonečných řad

#9 23. 02. 2014 19:42

Re: Součet nekonečných řad

#10 23. 02. 2014 19:47 — Editoval nanny1 (23. 02. 2014 19:48)

Re: Součet nekonečných řad

#11 23. 02. 2014 20:00

Re: Součet nekonečných řad

#12 23. 02. 2014 20:04 — Editoval nanny1 (23. 02. 2014 20:10)

Re: Součet nekonečných řad

#13 23. 02. 2014 20:12

Re: Součet nekonečných řad

#14 23. 02. 2014 20:15

Re: Součet nekonečných řad

#15 23. 02. 2014 20:34

Re: Součet nekonečných řad

#16 23. 02. 2014 20:46

Re: Součet nekonečných řad

#17 23. 02. 2014 20:52

Re: Součet nekonečných řad

Zápatí