Matematické Fórum

nikol777 · 23. 02. 2014 22:38 — Editoval jelena (25. 02. 2014 00:20)

r1 = 4cm
r2 = 2cm
v = 6cm

je rozdelen rovnobeznou rovinou s podstavou na 2 casti o stejnem objemu...

vypocitejte polomer kruznice řezu
pomer ve kterem rovina deli vysku

Našla jsem postup tohoto příkladu, jenomže mi moc nepomohl, protože část kterou se potřebuji prokousat byla znázorněna v přiloženém obrázku, který nejde otevřít. Byla bych vděčná za jakékoliv nápady na řešení, mě už totiž po několika hodináh počítání veškeré došly.

Zmíněný postup:
R - dolni podstava,
x - prostredni (nova postava vznikla rezem),
r - horni podstava

$V_1 = \frac{1}{3}\pi h_1(R^2+x^2+Rx)= \frac{1}{3}\pi h_1(4^2+x^2+4x)$

$V_2 = \frac{1}{3}\pi h_2(x^2+r^2+rx)= \frac{1}{3}\pi h_2(x^2+2^2+2x)$

$V_1 = V_2$

$\frac{1}{3}\pi h_1(4^2+x^2+4x) = \frac{1}{3}\pi h_2(x^2+2^2+2x)$

$h_1(4^2+x^2+4x) =h_2(x^2+2^2+2x)$ a tady nastává problém, nevím jak na to h1 a h2

Jelena: edit: obrázek ke kuželu - využívám podobnost trojúhelníků v řezu.

nejdřív jsem dokreslila do nekomolého kuželu a z poměru $\frac{a+6}{a}=\frac{4}{2}$ stanovila výšku "useknuté špičky" $a=6$ .

Potom z podobnosti trojúhelníku s odvěsnou x (což je hledaný poloměr řezu) stanovím:
$\frac{12-h_1}{6}=\frac{x}{2}$ , odsud $h_1=12-3x$ .
$h_2=6-h_1=3x-6$

--------------------------Konec editu---------------------

$(12-3x)(4^2+x^2+4x) =(3x-6)(x^2+2^2+2x)$

$3(4-x)(4^2+x^2+4x) =3(x-2)(x^2+2^2+2x)$

$(4-x)(4^2+x^2+4x) =(x-2)(x^2+2^2+2x)$

gadgetka · 23. 02. 2014 23:11

Ahoj, už se to zde řešilo: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=11169

nikol777 · 23. 02. 2014 23:35

↑ gadgetka:
Tady jsem právě našla ten postup, jenomže jak už jsem zmínila přiložený nákres nejde otevřít takže si dál nevím rady. Je tam sice ještě jeden obrázek, ale ten se týká jiného příkladu ;) možná je to na podobný způsob, ale já ho fakt nevidím :D. V tomto příkladu se totiž jedná o komolý kužel a vzhledem k tomu že neznám výšku celého kuželu, nevím jak bych mohla použít podobnost trojúhelníků.

gadgetka · 24. 02. 2014 00:37

V jednom z těch odkazů máš celé řešení od Chrpy: http://forum.matweb.cz/profile.php?id=1927

Kopíruji s celým řešením:
Objem komolého kužele:
$V=\frac{\pi\cdot v}{3}\left(r_1^2+r_2^2+r_1\cdot r_2\right)$
Pro náš případ pro r_1 = 4 a r_2 = 2 a výšku v = 6 vyjde $V=56\pi$ objemy těch nových kuželů mají být dle zadání V/2 tj: $28\pi$
Pokud označím:
x - výška spodního kužele
c - poloměr té dělící kružnice (to máme určit)
pak výška horního kužele bude 6 - x
V_s objem spodního kužele
V_h objem horního kužele
Můžeme počítat:
Spodní kužel:
$V_s=\frac{\pi \cdot x}{3}$4^2+c^2+4c$=28\pi\nl16x+x\cdot c^2+4xc=84\nlx=\frac{84}{c^2+4c+16}$
Horní kužel:
$V_h=\frac{\pi(6- x)}{3}$c^2+2^2+2c$=28\pi\nl6c^2-xc^2+24-4x+12c-2xc=84\nlx(c^2+2c+4)=6c^2+12c-60\nlx=\frac{6c^2+12c-60}{c^2+2c+4}$
Teď máme v obou kuželích vyjádřenou výšku, takže obě rovnice porovnáme:
$\frac{84}{c^2+4c+16}=\frac{6c^2+12c-60}{c^2+2c+4}$ úpravou dospějeme k rovnici (tu úpravu si udělej za domácí úkol)
$c^4+6c^3-36c-216=0\nlc^3(c+6)-36(c+6)=0\nl(c+6)(c^3-36)=0$
Aby tato rovnice byla splěna pak:
$c+6=0\,\vee c^3-36=0\nlc=-6\,\textrm{nelze}\nlc^3=36\nlc=\sqrt[3]{36}\,\approx\,3,30193\,\textrm{cm}$

Hledaný poloměr kružnice je přibližně 3,30193 cm

nikol777 · 24. 02. 2014 15:33

Moc děkuju, tohoto postupu jsem si nevšimla :).

jelena · 25. 02. 2014 00:23

↑ nikol777:

Zdravím,

obrázek v odkazu není funkční, tak jsem přidala do editu ve Tvém 1. příspěvku obrázek (strašný, omluva za kvalitu) a odvození potřebných rozměrů. Doufám, že je to už přehledné.

Matematické Fórum

#1 23. 02. 2014 22:38 — Editoval jelena (25. 02. 2014 00:20)

Komolý kužel

#2 23. 02. 2014 23:11

Re: Komolý kužel

#3 23. 02. 2014 23:35

Re: Komolý kužel

#4 24. 02. 2014 00:37

Re: Komolý kužel

#5 24. 02. 2014 15:33

Re: Komolý kužel

#6 25. 02. 2014 00:23

Re: Komolý kužel

Zápatí