Matematické Fórum

PanTau · 22. 02. 2014 21:19 — Editoval PanTau (22. 02. 2014 21:19)

Ahoj, mohl by mi někdo vysvětlit větu o sevření?

Co si mám představit pod $a_{n}\le b_{n}\le c_{n}$ - to jsou tři posloupnosti, ale jak zjistím, že $a_{n}\le b_{n}$ - to se bere podle limity?

Např:
$a_{n} = \frac{n-1}{2n}$ , potom $\lim_{n\to+oo}a_{n} = \frac{1}{2}$ m $b_{n}=\frac{n-1}{n}$ , potom $\lim_{n\to+oo}b_{n}=1$ pak $a_{n}\ge b_{n}$ ?

Viz. definice:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

nanny1 · 22. 02. 2014 21:39 — Editoval nanny1 (22. 02. 2014 21:43)

Ahoj, hezky je to vidět například na limitě sin n, n->oo. Sinus je omezená funkce a může nabývat hodnot od -1 do 1. Pak bn=sin n bude zleva omezená -1 a zprava 1. Pokud se an a cn rovnají, máme i limitu bn.
Edit: Máš nějaký konkrétní příklad? Jde o to, že při aplikaci téhle věty se hodí využít omezenosti.

nanny1 · 22. 02. 2014 21:50

Tady je to pěkně vysvětlený, sice pro funkce, ale v principu je to podobný: http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/5/txc3bb5j.htm

PanTau · 22. 02. 2014 21:52

↑ nanny1:

Ahoj, děkuji, nemám konkrétní příklad, ale já nechápu co znamená $a_{n}\le b_{n}\le c_{n}$

jarrro · 22. 02. 2014 21:56

↑ PanTau:znamená to presne to čo je tam napísané: a_n je menšie najviac rovné b_n a to je menšie najviac rovné c_n

nanny1 · 22. 02. 2014 22:00 — Editoval nanny1 (22. 02. 2014 22:01)

Představ si to třeba na tý sinusovce: Chceme najít limitu posloupnosti bn, an je minimum funkce (můžeme si tu posloupnost představit jako nespojitou funkci) a cn je maximum funkce - proto je vhodné použít omezenou (oscilující) posloupnost, která to minimum a maximum má. No a někdy se stane, že máme předpis, který když "ohraničíme" minimem a maximem, tak se an a cn rovnají. Líp je to pak vidět u funkcí..

PanTau · 22. 02. 2014 22:01

↑ jarrro:
Ale $an$ $bn$ $cn$ je nějaká posloupnost. Jak poznám která je větší pokud mám TŘEBA $a_{n} = \frac{n-1}{2n}$ a $b_{n}=\frac{n-1}{n}$

nanny1 · 22. 02. 2014 22:09 — Editoval nanny1 (22. 02. 2014 22:16)

Ono jde o to, že tyhle limity vypočítáš rovnou a nepotřebuješ na ně používat větu o sevření, myslím, že by to tady ani nešlo - každá limita je jiná a i kdybys to zprava ohraničil nějakou větší limitou, k žádnému výsledku by to nevedlo. Věta o sevření se používá tehdy, když nemůžeš limitu rovnou určit, ale ve výrazu se objeví nějaká omezená posloupnost (sin, cos). Tak ten výraz "sevřeš" minimem a maximem té posloupnosti. :)

jarrro · 22. 02. 2014 22:13

v tomto prípade je
$\frac{n-1}{2n}\leq\frac{n-1}{n}$
vo všeobecnosti nemusia byť dve postupnosti porovnateľné a to ani "skoro"(v zmysle od určitého indexu)
napríklad
$a_n=n\nl b_n=2^{$-1$^n}n$
nie sú porovnateľné lebo pre nepárne n je $a_n>b_n=\frac{a_n}{2}$ a pre párne n je naopak $a_n<b_n=2a_n$

nanny1 · 22. 02. 2014 22:21 — Editoval nanny1 (23. 02. 2014 17:54)

Aha, teď mi po příspěvku ↑ jarrro: teprve došlo, že jsi dumal nad tou nerovností.. :) To se jenom porovnají limity, pokud to jde. Ale ta věta o sevření se používá v jiných případech, jak jsem psala výš.

Edit: Asi to víš, ale pro jistotu - u posloupností nás zajímá, jak se posloupnost chová při velkých n (když je n malé, může se ta posloupnost chovat úplně jinak než "ke konci", ale to nás nezajímá), na rozdíl od řady, kde nás zase vůbec jednotlivé členy nezajímají - zajímá nás součet. Proto i při porovnávání posloupností porovnáváme posloupnosti tehdy, když n je velké, tj. můžeme porovnávat jejich limity. Jinak na tohle je skvělej Jarník - Diferenciální počet I., je to tam fakt dobře a srozumitelně vysvětlený. Na Jarníka nedám dopustit. :)

vytautas · 22. 02. 2014 22:37

Zdravím

TU je to pekne vysvetlené na príklade.Ak ti nevadí angličtina, odporúčam.

Rumburak

↑ PanTau:

Ahoj.

Věta říká toto: Když platí

(1) $a_{n}\le b_{n}\le c_{n}$ pro všechna $n > K$ , kde $K$ je nějaká konstanta ,

(2) $\lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} c_n = L$ ,

potom také $\lim_{n \to +\infty} b_n = L$ .

Používá se tehdy, když posloupnost $(b_n)$ je příliš složitá, než aby bylo snadné rozhodnout o její limitě přímo.

Možná až příliš jednoduchý příklad: Máme určit $\lim_{n \to +\infty} b_n$ , kde $b_n = \frac{2 + \sin n}{n}$ .
Vzhledem k nerovnosti $-1 \le \sin n \le +1$ platné pro všechna reálná $n$ dostáváme pro všechna $n > 0$
odhad $a_n \le b_n \le c_n$ , kde $a_n = \frac{1}{n} , c_n = \frac{3}{n}$ . Při tom platí $\lim_{n \to +\infty}a_n = \lim_{n \to +\infty}c_n = 0$ ,
tudíž podle zmíněné věty je též $\lim_{n \to +\infty} b_n = 0$ .

Ta věta se v matematickém slangu nazývá větou o dvou policajtech, protože vzbuzuje představu vězně (posl. $(b_n)$ )
vedeného dvěma policisty (posloupnosti $(a_n) , (c_n)$ ) , takže vězeň je nucen jít tam, kam jdou oba policisté.