Matematické Fórum

Sheldon.C · 25. 02. 2014 20:24

Ahoj :) Moc prosím o pomoc se dvěma příklady.
1. Určete rovnice všech tečen kružnice k, které jsou kolmé k přímce p.
k: $(x-2)^{2} + (y+6)^{2}=13$ , p: 2x-3y+5. Vytvořila jsem si obecnou rovnici přímky m, která prochází středem
kružnice a je rovnoběžná s přímkou p, poté jsem udělala průnik m a k, ale podle výsledků mi to vychází špatně.
2. Napište rovnici kružnice, která prochází bodem A $[4,2]$ a dotýká se osy x v bodě B $[2,0]$ .
Předem moc děkuji!

gadgetka

Ahojky, přímka, na které leží tečna ke kružnici, je kolmá k zadané přímce, z toho vyplývá:
$\vec{n}_{p}=(2,-3)=\vec{s}_{q}\Rightarrow \vec{n}_{q}=(3; 2)$
$q: 3x+2y+c=0$

A tahle přímka musí mít se zadanou kružnicí jeden společný bod, čili budeš řešit soustavu rovnic o dvou neznámých a diskriminant položíš roven nule.

Sheldon.C · 25. 02. 2014 20:56

Já má právě návod od profesorky a v něm je, že normálový vektor zůstane stejný. Vektor jsme přetáčeli v příkladu, kdy byly tečny rovnoběžné s přímkou p. Já jsem si udělala obecnou rovnici přímky m,která prochází středem kružnice a je rovnoběžná s přímkou p a vyšla mi: 2x-3y-22=0. Poté jsem si vyjádřila y a dosadila do středové rovnice kružnice přesně podle návodu, ale podle výsledků mi to už po třetím přepočtu stále nevychází.

gadgetka · 25. 02. 2014 21:09

Ty řešíš rovnoběžnou přímku, tzn. že průsečíky, které ti vyšly s kružnicí, jsou body dotyku hledaných tečen. Abys dostala jejich rovnice, musíš sestavit rovnice přímek, které jsou kolmé k přímce 2x-3y-22=0 a prochází danými body dotyku.

gadgetka · 25. 02. 2014 21:14

Sheldon.C napsal(a):
Vektor jsme přetáčeli v příkladu, kdy byly tečny rovnoběžné s přímkou p.

Pokud jsou přímky rovnoběžné, jejich směrové či normálové vektory jsou shodné, či jsou svými násobky.

Pokud jsou přímky vzájemně kolmé, součin jejich směrových či normálových vektorů je roven nule.

Sheldon.C · 25. 02. 2014 21:18

Přesně tak, ale stále mi to nevychází.

gadgetka · 25. 02. 2014 21:33

$(x-2)^{2} + (y+6)^{2}=13$
$2x-3y-22=0\Rightarrow x=\frac{22+3y}{2}$
-----------------------------------------------------
$(x-2)^{2} + (y+6)^{2}=13$
$$\frac{18+3y}{2}$^2+(y+6)^{2}=13\enspace|\cdot 4$
$9(y+6)^2+4(y+6)^{2}=52$
$13(y+6)^2=52$
$y+6=\pm 2$
$y_1=-4\Rightarrow x_1=5$
$y_2=-8\Rightarrow x_2=-1$

Cheop · 26. 02. 2014 08:19 — Editoval Cheop (26. 02. 2014 08:20)

↑ Sheldon.C:
Gadgetka ti vypočítala souřadnice tečných bodů:
$T_1=(-1;\,-8)\\T_2=(5;\,-4)$
Rovnice tečen, které jsou kolmé na přímku $p: 2x-3y+5=0$ bude mít tvar:
$t:\,3x+2y+c=0$ a teď už stačí dosadit souřadnice tečných bodů a dopočítat absolutní člen c
Mělo by ti vyjít:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Sheldon.C · 26. 02. 2014 13:53

Děkuji mockrát, už mi to konečně vyšlo :) A nevěděli byste si ještě, prosím, rady s tím druhým příkladem? Nevím, jak mám určit střed.

janca361 · 26. 02. 2014 14:10

↑ Sheldon.C:
No, platí tu pravidla (1 případ = 1 téma). Takže příště podle pravidel.

Máš dva body A a B, které leží na kružnici a zároveň víš, že tečna v bodě $[2,0]$ má rovnici: y=0. Dosaď A a B do obecných předpisů s řeš soustavu rovnic.

Sheldon.C · 26. 02. 2014 14:14

↑ janca361:
Omlouvám se, to jsem netušila. Děkuji moc :)

Matematické Fórum

#1 25. 02. 2014 20:24

Kružnice a přímka

#2 25. 02. 2014 20:34 — Editoval gadgetka (25. 02. 2014 20:34)

Re: Kružnice a přímka

#3 25. 02. 2014 20:56

Re: Kružnice a přímka

#4 25. 02. 2014 21:09

Re: Kružnice a přímka

#5 25. 02. 2014 21:14

Re: Kružnice a přímka

Sheldon.C napsal(a):

#6 25. 02. 2014 21:18

Re: Kružnice a přímka

#7 25. 02. 2014 21:33

Re: Kružnice a přímka

#8 26. 02. 2014 08:19 — Editoval Cheop (26. 02. 2014 08:20)

Re: Kružnice a přímka

#9 26. 02. 2014 13:53

Re: Kružnice a přímka

#10 26. 02. 2014 14:10

Re: Kružnice a přímka

#11 26. 02. 2014 14:14

Re: Kružnice a přímka

Zápatí