Matematické Fórum

snakehead28 · 27. 02. 2014 10:16

Zdravím páni kolegovci,

potreboval by som pomôct s jedným príkladikom z oblasti kinematiky:

Autíčko sa dokáže rozbiehať so zrýchlením aR=1m.s−2 a spomaľovať so spomalením aS=2m.s−2. Chceme, aby prešlo predpísanú dráhu s=10m za čo najkratší čas, no zrýchlenie autíčka okamžite klesne na nulu pri rýchlosti väčšej ako vM.
(a) Pri akej hodnote rýchlosti vM bude čas prejdenia dráhy s minimálny, ak požadujeme aby rýchlosť na začiatku a aj na konci pohybu bola nulová?

(b) Aký bude čas prechodu ak hodnota maximálnej rýchlosti bude nadobúdať polovičnú hodnotu z tej, pri ktorej je čas prejazdu minimálny?

neviem či mi dáte len postup alebo sa nájde aj niekto taký veľmi ochotný, že by mi to vyrátal celé. ale bol by som zato fakt vďačný

ak by sa teda niekto taký našiel, v odpovedi uveďte len číselnú hodnotu otázky (b) v sekundách v tvare X.YZ, t.j. zaokrúhlite na dve desatinné miesta.

ďakujem :-)

zdenek1 · 27. 02. 2014 17:29

↑ snakehead28:
Celé ti to rozhodně nespočítám, ale začátek je asi takto:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/17890_pic.png

protože je $a_s=2a_r$ , budu používat $a_r=a$ , $a_s=2a$
graf pohybu je na obrázku. Dráha je číselně rovna ploše pod grafem. To je lichoběžník, takže (t je celková doba pohybu)
$s=\frac{(t+t-\frac{v_m}{a}-\frac{v_m}{2a})v_m}{2}=v_mt-\frac{3v_m^2}{4a}$
a z toho $t=\frac{s}{v_m}+\frac{3v_m}{4a}$
Hledáš extrém, takže spočítáš derivaci
$\frac{\mathrm{d}\, t}{\mathrm{d}\,v_m }=\frac{3}{4a}-\frac{s}{v_m^2}=0 \ \Rightarrow \ v_m=\sqrt{\frac{4as}{3}}$

zbytek dopočítej

Matematické Fórum

#1 27. 02. 2014 10:16

Rozbehnutie, jazda a zastavenie

#2 27. 02. 2014 17:29

Re: Rozbehnutie, jazda a zastavenie

Zápatí